已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A(2,3),C(n,-3)(其中n>0),点B
(1)如图1,∵四边形ODEF是等腰梯形,∴OA=BC且OA ∥ BC,∴四边形OABC是平行四边形,由已知可得:S △AOC =8,连接AC交x轴于R点,又∵A(4,2),C(n,-2),∴S △AOC =S △AOR +S △ROC =0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8,∴OR=4,∴m=OA= OR 2 +A R 2 = 4 2 +2 2 =2 5 ;故答案为:2 5 ;(2)∵OB=2RO=8,CR=AR=2,AR⊥OB,∴B(8,0),C(4,-2)且平行四边形OABC是菱形,∴OF=3AO=3×2 5 =6 5 ;(3)如图3,在OB上找一点N使ON=OG,连接NH, ∵OM平分∠AOB,∴∠AOM=∠BOM,在△GOH和△NOH中, ON=OG ∠GOH=∠NOH OH=OH ,∴△GOH≌△NOH(SAS),∴GH=NH,∴GH+AH=AH+HN=AN,根据垂线段最短可知:当AN是点A到OB的垂线段时,且H点是AN与OM的交点,∴GH+AH的最小值为2.
解:(1)根据图中得出:
当P点运动到A点时,△POC的面积为12,
∴AO= 22+32 = 13 ,
∴m= 13 ,
故答案为: 13 ;
(2)∵图1中四边形ODEF是等腰梯形,点D的坐标为D(m,12),
∴yE=yD=12,此时图2中点P运动到与点B重合,
∵点B在x轴的正半轴上,
∴S△BOC=1 2 ×OB×|yC|=1 2 ×OB×3=12.
解得 OB=8,点B的坐标为(8,0).
此时作AM⊥OB于点M,CN⊥OB于点N.
(如图2).
∵点C的坐标为C(n,-3),
∴点C在直线y=-3上.
又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上,
∴点C是直线y=-3与直线l的交点,且∠ABM=∠CON.
又∵|yA|=|yC|=3,即AM=CN,
可得△ABM≌△CON.
∴ON=BM=6,点C的坐标为C(6,-3).
∵图2中 AB= AM2+BM2 = 32+62 =3 5 .
∴图1中DE=3 5 ,OF=2xD+DE=2 13 +3 5 .
(3)①当点P恰为经过O,B两点的抛物线的顶点时,作PG⊥OB于点G.
(如图3)
∵O,B两点的坐标分别为O(0,0),B(8,0),
∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4,即OG=BG=4.由tan∠ABM=AM BM =3 6 =PG BG 可得PG=2.
∴点P的坐标为P(4,2),
设抛物线W的解析式为y=ax(x-8)(a≠0).
∵抛物线过点P(4,2),
∴4a(4-8)=2.
解得 a=-1 8 .
∴抛物线W的解析式为y=-1 8 x2+x.
②如图4.
i)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的边时,
∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W 上,点P为抛物线W的顶点,
结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况,点Q与原点重合,其坐标为Q1(0,0).
ii)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的对角线时,可知BP的中点的坐标为(6,1),BP的中垂线的解析式为y=2x-11.
∴点Q2的横坐标是方程-1 8 x2+x=2x-11的解.
将该方程整理得 x2+8x-88=0.
解得x=-4±2 根号26 .
由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上,结合图4可知点Q2的横坐标为2 26 -4.
∴点Q2的坐标是Q2(2 根号26 -4,4 根号26 -19).
综上所述,符合题意的点Q的坐标是Q1(0,0),Q2(2 根号26 -4,4 根号26 -19).
(1)根据图中得出: 当P点运动到A点时,△POC的面积为12, ∴AO=
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