如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的

解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F由已知得BF=OE=2，OF= ∴点B的坐标是（ ，2）设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 解得 ∴直线AB的解析式是y= x+4。（2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴DP=AP= 如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°∴BG=BD·cos60°= DG=BD·sin60°= ∴OH=EG= ，DH= ∴点D的坐标为（ ， ）。 （3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于 设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG= t， ∴DH=2+ t∵△OPD的面积等于 ， ∴ ，解得 ， （ 舍去） ∴点P 1 的坐标为 （ ，0 ）。 ②当 ＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=- t， ∴DH=GF=2-（ -t）=2+ t∵△OPD的面积等于 ， ∴ ，解得 ， ∴点P 2 的坐标为（ ，0），点P 3 的坐标为（ ，0）。 ③当t≤ 时，如图，BD=OP=-t，DG=- t， ∴DH=- t-2∵△OPD的面积等于 ， ∴ ，解得 （舍去）， ， ∴点P 4 的坐标为（ ，0） 综上所述，点P的坐标分别为P 1

（1）过B点作AO的垂线，垂足为E
∵△AOB是等边三角形 OA=4
∴AE=EO=2 AB=4 BE=2√3
∴B点的坐标是（2√3，2）
∴AB的解析式为y=√3/3x+4
（2）∵AP=AD ∠PAD=60°
∴△APD是等边三角形
∴DP=AP=√[(√3)²+4²]=√19
tan∠DPx=tan(120-arctan(4/√3))=tan120-tan(arctan(4/√3))/[1+tan120*tan(arctan(4/√3))]
=7/(3√3)
过D点作DF垂直与PF
设PF=3√3x
DF=7x
(3√3x)²+(7x)²=19 勾股定理
x=1/2
PF=3√3/2
DF=7/2
D点坐标为（5√3/2，7/2）
（3）存在，把OP设为a
同理可得
DP=√(a²+4²)=√(a²+16)
tan∠DPx=tan(120-arctan(4/a))=tan120-tan(arctan(4/a))/[1+tan120*tan(arctan(4/a))]
=(4+√3a)/(4√3-a)
设PF=(4√3-a)x
DF=(4+√3a)x
[(4√3-a)x]²+[(4+√3a)x]²=a²+16
x=1/2
DF=(4+√3a)/2
△OPD的面积=a*(4+√3a)/2*1/2=(4a+√3a²)/4
=√3/4
∴a=√13-2√3