如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4 ),点B在x正半轴上,且∠ABO=30度,动点P在线段AB上从点A向
(1)求直线AB解析式;
在Rt△ABO中,AO=4√3,∠ABO=30°
所以,AB=2AO=8√3
故根据勾股定理有,B0=12
所以,B(12,0)
设AB所在直线的解析式为:y=kx+b
将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式,
得到: k=-√3/3 b=4√3 所以,y=(-√3/3)x+4√3
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值;
因为△PMN为等边三角形,所以:∠MPN=∠PNM=60°
而,∠PNM=∠NPB+∠B=∠NPB+30°
所以,∠NPB=30°
所以,∠MPB=∠MPN+∠NPM=60°+30°=90°
即,MP⊥AB
亦即,△MPB为直角三角形 又,PM=MN=PN=BN
所以,N为Rt△MPB中点
所以,PM=MN=PN=BM/2
当AP=√3t时,PB=8√3-√3t=√3*(8-t)
那么,在Rt△MPB中,MBP=30°
所以,BM=[√3*(8-t)]/(√3/2)=2*(8-t)
所以,PM=NM=PN=BM/2=(8-t)
当M与O重合时,Rt△PMB即为Rt△PBO
此时,PM=PO=BO/2=6
所以:8-t=6 t=2
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值。
如图,设PM交CE于F,交AO于H;PN交CE于G
由(2)知,当t=2时,M与O重合
而,当t=1时,PM经过点E
所以,当0≤t≤1时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE
而,当1≤t≤2时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分
过点P作AO的垂线,垂足为Q;
作CE的垂线,垂足为S 因为D是BO中点,
所以:C、E分别为AB、AO中点
所以,点C(6,2√3) 因为PQ//CE//BO
所以:AP/AC=PQ/CE 即:(√3t)/(4√3)=PQ/6
所以,PQ=3t/2
所以,由勾股定理有:AQ=√3t/2
所以,QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2)
因为CE//BO,
所以:△PFG∽△PMN 即,△PFG也为等边三角形
而,PS⊥FG
所以,S为FG中点 且∠GPC=∠GCP=30°
所以,PG=GC
那么,FG=GC=(2/√3)*PS=(2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t
而,CE=OD=6
所以,EF+FG+GC=EF+2*FG=EF+(8-2t)=6
所以:EF=2t-2
所以,EG=EF+FG=2t-2+4-t=t+2
而,在Rt△EFH中,∠EHF=30°
所以,EH=(√3)EF
所以,Rt△EFH的面积=(1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2 =(√3/2)*[2(t-1)]^2 =2√3(t-1)^2
由(1)知,BN=PN=8-t
所以,ON=OB-BN=12-(8-t)=4+t
所以,直角梯形ONGE的面积=[(EG+ON)*OE]/2 =[(t+2+4+t)*2√3]/2 =2√3(t+3)
所以,阴影部分的面积S=[2√3(t+3)]-[2√3(t-1)^2] =(2√3)[(t+3)-(t-1)^2] =(2√3)(-t^2+3t+2) 因为1≤t≤2,
所以,二次函数-t^2+3t+2有最大值 则,当t=-b/2a=3/2时: Smax=17/4
(1)∠ ABO=30°,则:AB=2AO=8,OB=4√3;PB=AB-AP=8-2t.
⊿PQB∽⊿AOB,PQ/AO=PB/AB,PQ/4=(8-2t)/8,PQ=4-t;
PB=2PQ=8-2t,BQ=√(PB²-PQ²)=4√3-√3t, OQ=OB-BQ=√3t.
∴点P为(√3t, 4-t).
(2)①当0≤t≤2√3-2时:l=2PQ+2OQ=(2√3-2)t+8.
②当2√3-2<t≤4时:l=4PQ=16-4t.
(3)当t=0时,即P与点A重合时:l=(2√3-2)*0+8=8.即若点P可与A重合,运动过程中l最小值为8;
【注:若原题中指明P与A不重合,则当t=2√3-2,即M与O重合时,l最小值为24-8√3. 】
解:(1)直线AB的解析式为: ; (2)∵∠AOB=90°,∠ABO=30°, ∴AB=2OA=8 , ∵AP= t, ∴BP=8 - t, ∵△PMN是等边三角形, ∴∠MPB=90°, ∵tan∠PBM= , ∴PM= , 当点M与点O重合时, ∵∠BAO=60°, ∴AO=2AP, ∴ , ∴t=2; (3)①当0≤t≤1时,见图2, 设PN交EC于点H, 重叠部分为直角梯形EONG, 作GH⊥OB于H, ∵∠GNH=60°,GH=2 , ∴HN=2, ∵PM=8-t, ∴BM=16-2t, ∵OB=12, ∴ON=(8-t)-(16-2t-12)=4+t, ∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG, ∴S= (2+t+4+t)×2 =2 t+6 , ∵S随t的增大而增大, ∴当t=1时,S max =8 ; ②当1<t<2时,见图3, 设PM交EC于点I,交EO于点F,PN交EC于点G, 重叠部分为五边形OFIGN, 作GH⊥OB于H, ∵FO=4 -2 t, ∴EF= , ∴EI=2t-2, ∴ ∵ , ∴当 时,S有最大值, ; ③当t=2时,MP=MN=6,即N与D重合, 设PM交EC于点I,PD交EC于点G, 重叠部分为等腰梯形IMNG,见图4, , 综上所述:当0≤t≤1时, ; 当1<t<2时, ; 当t=2时, , ∵ , ∴S的最大值是 。 | |
答:解:(1)B( ). (2)当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°.(3)P的坐标为( )或( ). (1)因为OA=2,△AOB为等边三角形,所以B的坐标为(√3,1).(2)因为∠PAQ和∠OAB都是60º,所以∠PAO=∠QAB,△PAQ和△OAB都是等边三角形,所以PA=QA...
答:(1)∵点A在y轴上,点B在x轴上 ∴AO⊥BO 即:△AOB是直角三角形 ∵点D是AB的中点 ∴OD=(1/2)AB,则OD=AD ∴∠DAO=∠DOA (2)①标记点B的右侧为P ∵点C,D分别是OA,AB的中点 ∴CD∥OB且CD=(1/2)OB ∵点E是△AOB外角平分线和CD延长线的交点 ∴CE∥OB ∴∠CEB=∠EBP ∵BE...
答:(1)∵A(-3,0),B(1,0),∴AB=AD=4,∴点D的坐标是(-3,4),故答案为:(-3,4);(2)设PA=t,OE=y,∵∠DAP=∠POE=∠DPE=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∠APD+∠EPO=90°,∴∠ADP=∠EPO,∴△DAP∽△POE,∴43?t=ty,∴y=-14t2+34t=-14(t-32)2+916,...
答:把已知坐标代入可求解.(2)由△ABD由△AOP旋转得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BD?cos60°,DG=BD?sin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.(3)分...
答:OP=1﹣t;在Rt△POC中,∠PCO+∠CPO=90°,∴∠FPD+∠CPO=90°,∵∠PCO=∠FPD;∴∠POC=∠FDP,∴△CPO∽△PFD,∴ ;∴PF=PE=2PC,∴FD=2PO=2(1﹣t);∴S △PBF = =t 2 ﹣7t+6(0≤t<1);当点P在原点右侧时,OP=t﹣1,BP=6﹣t;∵△CPO∽△PFD,∴FD=2(...
答:,∴AB=1﹣(﹣1)=2,BC=1﹣(﹣2)=3,CD=1﹣(﹣1)=2,DA=1﹣(﹣2)=3,∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10,2014÷10=201…4,∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置,即线段BC的中间位置,点的坐标为(﹣1,﹣1).故答案为:(﹣1,﹣1).
答:2t20,解得t=6011,②∠AQP是直角时,△AQP∽△AOB,∴AQAO=APAB,即20?2t12=t20,解得t=10013,点P在AO上运动的时间为12÷1=12秒,点Q在AB上运动的时间为20÷=10秒,综上所述,t=6011秒或10013秒时,△APQ与△AOB相似;(3)如图,过点Q作QC⊥OA于C,则QC=AQ?sin∠OAB=(20-2t...
答:解:∵点A(0,2),点C(1,0),∴OA=2,OC=1,以AC为直角边作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ,如图,作NE⊥x轴于E,∵∠ACN=90°,∴∠ACO+∠NCE=90°,而∠NCE+∠CNE=90°,∴∠CNE=∠ACO,在△ACO和△CNE中,∠AOC=∠CEN∠ACO=∠CNEAC=CN,∴△ACO≌△CNE(AAS)...
答:然后可分别计算出它们的直角顶点的横坐标,从而得到其直角顶点的坐标:∵点 , ∴OB=3,OA=4,∴根据勾股定理,得:AB=5.∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换,∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态,并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位.∵7=3×2+1,∴三角形(7)和三角形(4)的状态一样...
答:(1)点C(72,52)是线段AB的“临近点”.理由是:∵点P到直线AB的距离小于1,A、B的纵坐标都是3,∴AB∥x轴,3-1=2,3+1=4,∴当纵坐标y在2<y<4范围内时,点是线段AB的“临近点”,点C的坐标是(72,52),∴y=52>2,且小于4,∵C(72,52)在直线y=x-1上,∴点C(72...