函数的定义域和值域怎么求
函数定义域问题及解法
1.定义域的概念
定义域是自变量x的取值范围,多数书籍用D表示,即D=Df={x│y=f(x)}。
它是函数存在的“物质基础”。研究讨论函数的一切问题,都必须在这个范围内。
定义域的几何意义是函数图象在x轴上(横向)的分布范围。也可以说是函数图象上点的横坐标的集合。
2.求定义域的依据
解析式:定义域
整式:x∈R
分式:使分母≠0的x的集合
偶次根式:使被开方式≥0的x的集合
奇次根式:x∈R
对数式:使真数>0的x的集合
零指数幂:使幂底数≠0的x的集合
上述几种形式的综合:上述几种集合的交集
3.定义域的求法
(1)列不等式(组),根据求定义域的依据。
(2)解不等式(组)。
(3)最后结果写成区间或者集合。
4.说明
(1)实际应用题函数的定义域,除符合上述要求外,自变量的取值还要符合实际意义。
(2)一般情况下,定义域都是指自变量“x”的取值范围,不是2x,也不是x^2的取值范围。深刻理解并牢牢记住这一点非常重要,尤其是在解抽象函数定义域时。
(3)一个重要约定是,当只给出解析式而没有注明定义域时,这时函数的定义域就是使解析式有意义的x的取值范围。
函数的值域问题及解法
值域的概念:
函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}。这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关。
值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围。
一般来说,求值域比求定义域困难得多。求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性。
1.观察法
用于简单的解析式。
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞)
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞)
3.换元法
多用于复合型函数。
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量(新量)的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].
4.不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法。
y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1).
由01/(e-1).
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞).
5.最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M]。
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的。
6.反函数法(有的又叫反解法)
函数和它的反函数的定义域与值域互换。
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者。
7.单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)];若是减函数,则值域为[f(b), f(a)]。
y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).
y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数(单调递减),
F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8].
8.斜率法
数形结合。
求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域。
把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成
单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率,
则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3.
圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2),
解得k=(-12±√6)/15.
y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15
值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15].
一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域。
对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域。
9.导数法
导数为零的点称为驻点,设f'(x0)=0,
若当xx0时f'(x)>0,则f(x0)为极小值;
若当x0,当x>x0时f'(x)<0,则f(x0)为极大值;
再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值(与最值法相通),得出值域。
参考资料:
http://hi.baidu.com/tag/%E5%87%BD%E6%95%B0ok%E7%B3%BB%E5%88%97/feeds
话说,编辑了好久好久~~
定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1),分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3),对数中的真数部分大于0。
(4),指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)。y=tanx中x≠kπ+π/2,
y=cotx中x≠kπ等等。
值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法:
(1)化归法;(2)图象法(数形结合),
(3)函数单调性法,
(4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法等
至于函数值,就要看定义域和对应法则了,有了2者的约束,才可能求出正确的函数值。
此外,在解函数的题时,一定要画图,一定要画图,数行结合作为4大数学方法之一,其应用是非常广泛的。
求定义域高中常见题型:
1、分式:1/f(x),解f(x)≠0即可;
2、无理式√f(x),解f(x)≥0即可;
3、幂:x^n,x≠0;
4、对数式:lgf(x),解f(x)>0.若在底数上,解大于零且不等于1即可。
以后还会学习三角式、反三角式。
实际解题往往是以上的综合应用。
值域的类型非常多。若你是高一学生,建议先学好课本的基本题型,等以后学习时,遇到新问题后逐渐补充的全面起来。现在全学,效果很差。
定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1),分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3),对数中的真数部分大于0。
(4),指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)。y=tanx中x≠kπ+π/2,
y=cotx中x≠kπ等等。
值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法:
(1)化归法;(2)图象法(数形结合),
(3)函数单调性法,
(4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法等
定义域的求法是,观察解析式中,自变量x是否取任意值都能使其有意义。如做分母时不可为零……对于上述式子,x取R中任何值都可以。而y的取值则分别为R,y不小于1,y不小于49/4
函数的定义域如何求,数学小知识
答:求函数的定义域和值域的方法如下:1、定义域:根据函数关系式的限制条件,如对数函数的定义域为实数范围,指数函数的定义域为正实数范围等。根据实际问题的要求,如求解实际问题中的函数定义域时,需要满足实际问题的限制条件。2、值域观察法:根据函数解析式直接观察,对于一些简单的函数,如一次函数、二次...
答:函数的定义域和值域求法如下:分母不为零;偶次根式的被开方数非负;对数中的真数部分大于0;指数、对数的底数大于0,且不等于1;y=tanx中x≠kπ+π/2。y=cotx中x≠kπ等等,值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法:化归法;图象法(数形结合),函数单调性法,配方法,换元...
答:函数定义域的求法:1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示。2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题。3、对复合函数y=f 的定义域的求解,应先由y=f (u)求出u...
答:1、求函数定义域的常用方法有:(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零等;(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围;(3)根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围;(4)复合函数的定义域:如果y是u的函数,而u是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y=f[g...
答:定义域和值域求法如下:定义域:定义域指的是自变量的取值范围。例如,对于函数y=x²+2,因为x不等于0,所以其定义域为x∈R。值域:值域指的是因变量的取值范围。首先需要分析函数的增减性、连续性等性质,然后根据这些性质确定函数的极值点,从而确定函数的值域。例如,对于函数y=x²+2,...
答:是未知函数。( 麻烦设为好评,谢谢 )
答:求函数的定义域需要从这几个方面入手:(1),分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负.(3),对数中的真数部分大于0.(4),指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5).y=tanx中x≠kπ+π/2,y=cotx中x≠kπ等等.值域是函数y=f(x)中y的取值范围.常用的求值域的方法:(1)化归法;(2...
答:高中数学定义域与值域的求法如下:1、定义域表示的是自变量的取值范围,值域表示的是应变量的取值范围。如:函数y=x+4x的定义域为R,值域为(负无穷大,正无穷大)。三类函数的值域定义域的求解技巧:一次函数。定义域为R,值域为R。2、当一次项的系数为正时,函数单调递增,在给定区间上按照单调性...
答:求函数中定义域和值域的方法:求函数的定义域需要从这几个方面入手:(1)分母不为零;(2)偶次根式的被开方数非负;(3)对数中的真数部分大于0;(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1;(5)y=tanx中x≠kπ+π/2。定义域和值域怎么求 求函数的定义域需要从这几个方面入手:(1)...
答:(1)直接法——从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围.(2)配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(X)=af²(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原...