求函数 的定义域和值域。
原函数可拆成:
y=(1/2)^t (^是t次方的意思)
t=1/(-x^2+2x+3)
要使函数有意义必须:
(-x^2+2x+3)≠0,即,
(-x+3)(x+1)≠0
x≠-1,且x=3,
以下是判别式法求函数t(x)的值域:
t=1/(-x^2+2x+3)
(-x^2+2x+3)=1/t
x^2-2x+[(1/t)-3]=0
因为关于x的方程有解,所以,
Δ=4-4(1/t-3)≥0
1/t-3≤1
1/t-4≤0
(1-4t)/t≤0
t(t-1/4)≥0
t≥1/4,或t≤0,
因为t≠0.
所以,函数t(x)的值域即函数y(t)的定义域为:
t∈(-∞,0)∪[1/4,+∞)
以下是求原函数的值域:
函数y(t)=(1/2)^t是减函数,
(1)
当ty(0)=1
(2)当t≥1/4时,y≤y(1/4)=(1/2)^(1/4)=1/(⁴√2)
所以原函数的值域为:
(0,⁴√2]∪(1,+∞)
1.x∈(-∞,+∞) ;y∈(0,+∞);
2.x∈(-∞,+∞) ;y∈(-∞,+∞);
3.x≠0,y≠0
4.x∈(-∞,+∞) ;y∈(-∞,+∞);
5.y=x²-6x+7=(x-3)2-2
x∈(-∞,+∞) ;y∈(-2,+∞).
1、求函数定义域的常用方法有:
(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零等;
(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围;
(3)根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围;
(4)复合函数的定义域:如果y是u的函数,而u是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫做中间变量,设f(x)的定义域是x∈M,g(x)的定义域是x∈N,求
y=f[g(x)]的定义域时,则只需求满足 的x的集合。设y=f[g(x)]的定义域为P,则 。
2、求函数值域的方法:
(1)利用一些常见函数的单调性和值域,如一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,三角函数,形如 (a,b为非零常数)的函数;
(2)利用函数的图象即数形结合的方法;
(3)利用均值不等式;
(4)利用判别式;
(5)利用换元法(如三角换元);
(6)分离法:分离常数与分离参数两种形式;
(7)利用复合函数的单调性。(注:二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系,含字母时要注意讨论)
解:使函数有意义,则满足 , ∴ ,解得:-3<x<1, 则函数的定义域为(-3,1); 又 在(-3,1)上,而 , 令 , ∴ , 即函数的值域为(-1,+∞)。 |