如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点P是x轴上的一个动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形

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解：过B点做BT⊥AO；垂足为T
（1）
∵△AOB为正三角形（等边三角形）
∴∠AOB=60°且OB=BA=OA=4
∵AB=BO且BT⊥AO
∴AT=OT=1/2AO
∴由勾股定理得BT=2（3）½
∴B（2（3）½，2）
或者
∵△AOB为正三角形（等边三角形）
∴∠AOB=60°且OB=BA=OA=4
∴B（4cos60°，4sin60°）
∴B（2（3）½，2）
（2）
设∠PAO=θ
证明Q1永远在QB线上
（3）
存在（晚了明天再说）

1)

作BC⊥x轴，垂足为C,

因为△AOB为等边三角形

所以OA=OB=4，∠AOB=60

所以∠BOC=30°

在直角三角形OBC中，BC=OB/2=2，

OC=√(OB²-BC²)=√（16-4）=2√3

所以B(2√3，2)

2)因为△APQ和△AOB是等边三角形

所以AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB

所以∠PAQ-∠OAQ=∠OAB-∠OAQ

即∠PAO=∠QAB

所以△PAO≌△QAB

所以∠AOP=∠ABQ,

因为∠AOP=90，

所以∠ABQ=90为定值