如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B
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解:(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x.(2分)
(2)①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,
∴y=2m(0≤m≤2)
∴顶点M的坐标为(m,2m)
∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m
∴当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2)
∴点P的坐标是(2,m2-2m+4).(2分)
②∵PB=m2-2m+4=(m-1)2+3,
又∵0≤m≤2,
∴当m=1时,PB最短.
此时抛物线的解析式为y=(x-1)2+2.(2分)
(3)由(2)②知:P(2,3),M(1,2);
则PM= 2;
①PM=PN= 2,则N1(2,3+ 2),N2(2,3- 2);
②PM=MN,根据等腰三角形三线合一的性质知:N3(2,1);
③PN=PM,此时∠PMN4=∠N4PM=∠PM3M,则:
△PMN4∽△PN3M,
得:PM2=PN4•PN3,
即:PN4=PM2÷PN3=1,
故N4(2,1);
综上可知:符合要求的点N的坐标为:
N1(2,3+ 2);N2(2,3- 2);N3(2,1);N4(2,1).(4分)
(4)当线段PB最短时,此时抛物线的解析式为y=(x-1)2+2,
①过P作直线L∥OA,设直线L:y=2x+h,则有:
4+h=3,h=-1;
∴直线L:y=2x-1,联立抛物线的解析式有:
{y=2x-1y=(x-1)2+2,
解得 {x=2y=3;
此时抛物线与直线L只有一个交点为P(2,3),故此种情况不成立;
②在点A的上方截取AD=AP,即D(2,5);
过D作直线L′∥OA,设直线L′:y=2x+h′,
则有:4+h′=5,h′=1;
∴直线L′:y=2x+1,联立抛物线的解析式有:
{y=2x+1y=(x-1)2+2,
解得 {x=2+2y=5+22, {x=2-2y=5-22;
抛物线上存在点Q1(2+ 2,5+2 2),Q2(2- 2,5-2 2),使△QMA与△PMA的面积相等.(2分)
解:(1)设 所在直线的函数解析式为 ,
∵ (2,4),
∴ , ,
∴ 所在直线的函数解析式为 .…………………………………(3分)
(2)①∵顶点M的横坐标为 ,且在线段 上移动,
∴ (0≤ ≤2).
∴顶点 的坐标为( , ).
∴抛物线函数解析式为 .
∴当 时, (0≤ ≤2).
∴点 的坐标是(2, ).…………………………………(3分)
② ∵ = = , 又∵0≤ ≤2,
∴当 时,PB最短. ……………………………………………(3分)
(3)当线段 最短时,此时抛物线的解析式为 .……………(1分)
假设在抛物线上存在点 ,使 .
设点 的坐标为( , ).
①当点 落在直线 的下方时,过 作直线 // ,交 轴于点 ,
∵ , ,
∴ ,∴ ,∴ 点的坐标是(0, ).
∵点 的坐标是(2,3),∴直线 的函数解析式为 .
∵ ,∴点 落在直线 上.
∴ = .
解得 ,即点 (2,3).
∴点 与点 重合.
∴此时抛物线上不存在点 ,使△ 与△ 的面积
相等.……………………………………………………………………(2分)
②当点 落在直线 的上方时,
作点 关于点 的对称称点 ,过 作直线 // ,交 轴于点 ,
∵ ,∴ ,∴ 、 的坐标分别是(0,1),(2,5),
∴直线 函数解析式为 .
∵ ,∴点 落在直线 上.
∴ = .
解得: , .
代入 ,得 , .
∴此时抛物线上存在点 ,
使△ 与△ 的面积相等. …………………………………(2分)
综上所述,抛物线上存在点 ,
使△ 与△ 的面积相等.
解:(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx, ∵A(2,4), ∴2k=4, ∴k=2, ∴OA所在直线的函数解析式为y=2x; (2)∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动, ∴y=2m(0≤m≤2). ∴顶点M的坐标为(m,2m), ∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m. ∴当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2), ∴点P的坐标是(2,m2-2m+4).
答:(Ⅰ)如图①,∵点A(-2,0),点B(0,4),∴OA=2,OB=4.∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°,∴△OAE∽△OBA,∴OAOB=OEOA,即24=OE2,解得OE=1,∴点E的坐标为(0,1);(Ⅱ)①如图②,连接EE′.由题设知AA′=m(0<m<2),则A′O=2-m.在Rt△A′BO中,由A′...
答:分析:(1)首先求出点C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)利用三角形外角性质,易证∠BEF=∠AOE;(3)当△EOF为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论,注意不要漏解;(4)本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标,要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比.如图④...
答:(1)当△ODN≌△ODA时,ON=OA=4,则AM=12ON=2,则OM=OA-AM=4-2=2,则M的坐标是(2,0),N的坐标是(0,4),设直线MN的解析式是:y=kx+b,根据题意得:2k+b=0b=4,解得:k=?2b=4,则线段MN的解析式是:y=-2x+4(0≤x≤2),则MN上的整数点是(0,4)和(1,...
答:解:过B点做BT⊥AO;垂足为T (1)∵△AOB为正三角形(等边三角形)∴∠AOB=60°且OB=BA=OA=4 ∵AB=BO且BT⊥AO ∴AT=OT=1/2AO ∴由勾股定理得BT=2(3)½∴B(2(3)½,2)或者 ∵△AOB为正三角形(等边三角形)∴∠AOB=60°且OB=BA=OA=4 ∴B(4cos60°,4sin...
答:如图,设PM交CE于F,交AO于H;PN交CE于G 由(2)知,当t=2时,M与O重合 而,当t=1时,PM经过点E 所以,当0≤t≤1时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE 而,当1≤t≤2时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分 过点P作AO的垂线,垂足为Q;作CE的垂线,垂足为S 因为D是...
答:∴∠BCE+∠B=90° ∵∠BCE+∠A=90° ∴∠B=∠A 又∵∠BOD=∠AOC=90°AC=BD,∴△BOD≌△AOC,∴OB=OA,∵A(0,6),∴OA=6 ∴OB=6,∴B(-6,0);②当B在原点右边时(图2),同理可证OB=OA=6,∴B(6,0)∴点B的坐标是(-6,0)或(6,0);(2)①当B在原点...
答:联立直线OD与线段MN的方程,解得交点D为(ab/(a+b),ab/(a+b)),由OD=DM得,△OMD为等腰直角三角形,过D做DQ垂直于X轴 则OM=2OQ a=2ab/(a+b),联立b=8-2a 得a=b=8/3 则MN的方程为:y=-X+8/3 则△OMN中整数点为(0,0)(1,0)(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)...
答:解:(1)易知A(-2,0),B(4,0),C(0,8).设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4).将C(0,8)代入,得a=-1.∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为:y=-x2+2x+8.y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,∴顶点为D(1,9).(2)如图1,假设存在满足条件的点P,依题...
答:解:(1)∵OA=8,OB=6, ∴S △AOB = ×8×6=24 (2)∵OA=8,OB=6,∴AB=10 当∠BPM=∠AOB=90°时△BPM∽△BOA ∴ ∴ ∴ 秒当∠BPM=∠AOB=90°时△BPM∽△BOA ∴ ∴ ∴ 秒∴当 秒或 秒时,△BPM与△BOA相似。
答:(1)非负数之和为0,只可能每项都等于0 所以2a-b=a-4=0 得到 a=4,b=2a=8 A为(4,8)B为(4,0)(2)假设时间为t 那么PO=|4-1*t|=|4-t| QO=|8-2*t|=|8-2t| S阴=SPOA+SQOA =PO*AB/2+QO*OB/2 =|4-t|*8/2+|8-2t|*4/2 =8|4-t| SOCAB/2=AB*OB/2=8*4/2...