高数书上数列极限例题2，如下不懂求帮助！
将分母改成一样的 那么所有的项都可以合并 这样就可以得出分子1加到n等于n(n+1)/2
虽然你没给出定理3的内容，但从这个证明中的描述可以看出，定理3应该是这样的：
如果一个数列｛Xn｝的极限a满足：a＜0（或a＞0）；那么｛Xn｝必然从某项开始有：Xn＜0（或Xn＞0）；
而这个推论，（基本上）就是定理3的【逆命题】。本来，对于普通的命题，其逆命题是未必为真的。但定理3实在很特殊：
它同时对（a＜0）和（a＞0）进行判断，这就（基本上）相当于同时肯定了一个命题和它的【否命题】；而我们都知道，【逆命题】和【否命题】互为【逆否命题】，它们是等价的。
虽然这里我所说的逆命题、否命题都不是严格的，但这些特点就为该推论的成立提供了基础条件。
定理3和推论中，都假定极限存在。所以，可以定义以下命题：
①：a＞0；
②：a＜0；
③：a≥0；
④：a≤0；
⑤：a＝0；
它们的关系是：
（1）①、②、⑤两两相互对立；——所谓对立，就是不能同时为真；
（2）①、④相互矛盾；——所谓矛盾，就是不能同时为真，也不能同时为假；
（3）②、③相互矛盾；
（4）③、④相交于⑤；
而关于Xn的判断，都是针对n大于某个项数后的所有项而言的。具体包括以下命题：
Ⅰ：存在N1：若n＞N1，则Xn＞0；
Ⅱ：存在N2：若n＞N2，则Xn＜0；
Ⅲ：存在N3：若n＞N3，则Xn≥0；
Ⅳ：存在N4：若n＞N4，则Xn≤0；
Ⅴ：存在N5：若n＞N5，则Xn＝0；
Ⅵ：不存在N6，使得当n＞N6时，Xn与0有固定统一的大小关系；
它们的关系就是解决你的问题的关键：
（1）Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ相互独立；
（2）Ⅰ、Ⅳ相互独立；
（3）Ⅱ、Ⅲ相互独立；
（4）Ⅲ、Ⅳ相交于Ⅴ；
（5）Ⅰ～Ⅴ的选言命题，与Ⅵ相互矛盾；
上面所说的N1～N5，对单个命题而言，我们可以换用任何字母来表示这个整数，我之所以用五个不同的符号表示，只是为了表达这样一个意思：这五个命题中所说的五个整数，可能不相等。以证明中用到的Ⅱ与Ⅲ的对立关系为例说明：
n大于N2和N3，是Ⅱ与Ⅲ分别成立的条件。如果令N＝max｛N2，N3｝，即：N为N2和N3中【较大】的那个（显然，这样的N是一定存在的——只要N2和N3存在）；那么，因为N2和N3都可以分别令Ⅱ和Ⅲ为真，所以，比它们更大的N，肯定更可以令Ⅱ和Ⅲ为真了。此时，就有了这样的结论：
Ⅱ′：当n＞N时，Xn必然小于0；
Ⅲ′：当n＞N时，Xn必然不小于0；
这显然是相互矛盾的。本题中的证明，就是利用这个矛盾进行反证的。
我们可利用上面定义的各个命题，重写证明过程：
定理3可以表示为：
①→Ⅰ；②→Ⅱ；
而所需证明的推论可以这样表示：
Ⅲ→③；Ⅳ→④；
那么证明就是这样的：
如果：Ⅲ→③不成立；那么就有：Ⅲ为真，且③为假；
③为假，所以它的矛盾命题②，必然为真；
那么根据：②→Ⅱ，可得：Ⅱ为真；
但Ⅱ与Ⅲ矛盾；由此可证明Ⅲ→③必然成立。
上面是反证法，其实还可以用直接法：
若Ⅲ为真，则Ⅱ为假；——对立命题的性质；
若Ⅱ为假，则②为假；——逆否命题的性质；
若②为假，则③为真；——矛盾命题的性质；
转换成原来的命题，就是：
如果：存在N，使得n＞N时，Xn≥0；
那么：就不存在N，使得n＞N时，Xn＜0；
如果：不存在N，使得n＞N时，Xn＜0；
那么：｛Xn｝的极限a就不满足：a＜0；
如果：｛Xn｝的极限a不满足：a＜0；
那么：｛Xn｝的极限a就一定满足：a≥0；
对ε可以限制上界但不能限制下界，比如ε＜1，ε＜1/2等等，这不影响其“任意小”的特质，也可以这样理解，那就是对于一个小一点的ε都可以找到N，那么ε大一点时，还取原来的N，还是能保证|Xn-a|＜ε。
对于N，当|Xn-a|很简单时，可以直接由|Xn-a|＜ε求出n＞N；否则可以先对|Xn-a|放大，放大为一个与n有关且简单的式子，比如放大为1/n的倍数，本题可得|Xn-a|＜1/n，由这个式子小于ε来确定N。
对于本题来说，如果选择|Xn-a|＜1/n，那么ε也不用限定小于1，过程如下：
因为|Xn-a|＜1/n，所以对于任意小的正数ε，要使得|Xn-a|＜ε，只要1/n＜ε，即n＞1/ε即可，选择正整数N=[1/ε]，则n＞N时，恒有|Xn-a|＜ε。所以数列{Xn}的极限是0。
这种写法不必要，书上这样写有两个原因：
1、这样写求出的ε形式比较简单；
2、要我们知道，在做一些较复杂问题时，可以对|Xn-a|的结果做适当的放大，有助于解出结果。
做为本题，由于比较简单，不做这种放大也是可以的。
答：lim(n→∞)x(n)= a <==> 对任一 ε>0，存在 n∈z+，当n>n时，有 |x(n)-a| <ε <==> 对任一 ε>0，存在 n∈z+，当n>n时，有 x(n)∈ (a-ε,a+ε)<==> 对任一 ε>0，存在 n∈z+，至多肌花冠拘攉饺圭邪氦矛只有 n = 1,2,…,n 不满足 x(n)∈ (a-ε,...
答：若n=2k-1 2·k-1＞N=2K 解得，k＞K+1/2 若n=2k 2·k＞N=2K 解得，k＞K
答：题目解答要应用”单调增加有上界的数列一定有极限“这个定理。为此要验证定理条件。这个划线的结论就是函数有上界。加上下面再验证增加，就完全验证了定理条件。就可以得到数列有极限的结论了。
答：1-1/n²可化成（n+1）(n-1)/n²,每一项这样化解，约分剩(n+1)/2n,n趋向正无穷时等于1/2。平方差公式展开。然后交换合并把和部分相乘，差部分相乘。数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>...
答：lnL =lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(n+i)/n ] } =lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(1 + i/n) } =∫(0->1) ln(1+x) dx =[ xln(1+x) ]|(0->1) -∫(0->1) x/(1+x) dx =ln2 - ∫(0->1) [1- 1/(1+x)...
答：2Xn+2+Xn+1=2Xn+1+Xn 2Xn+1+Xn=2b+a.(1)由Xn+2=(Xn+1+Xn)/2得 2(Xn+2-Xn+1)=-(Xn+1-Xn)Xn+1-Xn=(b-a)(-1/2)^(n-1).(2)(1)-(2)×2得：Xn=[(2b+a)-2(b-a)(-1/2)^(n-1)]/3 当n→∞时Xn→(2b+a)/3 所以,数列{Xn}收敛,其极限为(2b+a)/3...
答：由于两个数列中的相对应的两项之比收敛于常数e，所以当n足够大时，un 近似于vn的e倍。由于当n不断增大时，un任意地接近于0，所以vn也任意地接近于0，即数列(vn)的极限=0。2. 对于任何给定的正数e，存在N，使得任何大于N的 k 都有|ak-a|<e/2 注意，对于给定的N，|a1+a2+...+aN-Na|...
答：当n→+∞时，原式=∫[1/√(4-x^2)]dx，从0积到1。显然此积分是存在的，原题极限的值就是此积分的值。令x=2sinθ，积分区间对应的变为0→π/6 带入积分式中有∫[1/√(4-x^2)]dx=∫[1/√(4-4(sinθ)^2)]d(2sinθ)=∫dθ=π/6-0=π/6 所以，原数列的极限存在，为π...
答：L=lim(n->∞)[(2n)!/(n!.n^n)]^[1/(n+1)]lnL =lim(n->∞)[1/(n+1)]{∑(i:1->n)ln[(n+i)/n]} =lim(n->∞)[1/(n+1)]{∑(i:1->n)ln[(1+i/n)} =∫(0->1)ln(1+x)dx =[xln(1+x)]、(0->1)-∫(0->1)x/(1+x)dx =ln2-∫(0->1)[1-1...
答：①0 已知n为正数，当n为奇数，结果等于0，当n为偶数，结果也等于0。综上，结果为0。②1/2 已知n为正数，当n无穷大的时候，自然数+1和-5可以忽略不计，结果为n/2n，即是1/2。综上，结果为1/2。③0 由题可知，n为正整数，当n无穷大时，分母无穷大，结果为0。综上，结果为0。
