高数 求数列极限
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-25
高等数学中数列极限的求法
L = lim(n->∞) [ (2n)!/(n!.n^n) ]^[1/(n+1)]
lnL
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(n+i)/n ] }
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(1 + i/n) }
=∫(0->1) ln(1+x) dx
=[ xln(1+x) ]|(0->1) -∫(0->1) x/(1+x) dx
=ln2 - ∫(0->1) [1- 1/(1+x)] dx
=ln2 - [ x- ln|1+x| ]|(0->1)
=ln2- ( 1- ln2)
=2ln2 -1
L = e^(2ln2-1)= 4e^(-1)
lim(n->∞) [ (2n)!/(n!.n^n) ]^[1/(n+1)] = 4e^(-1)
分子分母都除以n，直接得答案3/2。sinn^2/n和cosn^2/n的极限为0,因为有界量乘以无穷小的极限为0，书上的基本定理，讲两个重要极限和无穷小的时候讲的。
以上，请采纳。
L = lim(n->∞) [ (2n)!/(n!.n^n) ]^[1/(n+1)]
lnL
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(n+i)/n ] }
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(1 + i/n) }
=∫(0->1) ln(1+x) dx
=[ xln(1+x) ]|(0->1) -∫(0->1) x/(1+x) dx
=ln2 - ∫(0->1) [1- 1/(1+x)] dx
=ln2 - [ x- ln|1+x| ]|(0->1)
=ln2- ( 1- ln2)
=2ln2 -1
L = e^(2ln2-1)= 4e^(-1)
lim(n->∞) [ (2n)!/(n!.n^n) ]^[1/(n+1)] = 4e^(-1)
