高数极限题目
等于说从第一个式子分子中括号里面提出了个n的负阿尔法次方
分母里提出了个n的负贝塔次方 把提出来的东西单独放在中括号外面
分子提出来的是n的（负阿尔法*贝塔加负阿尔法）次方
分母提出来的是n的（负阿尔法*贝塔加负贝塔）次方
这部分列到分式前面就是n的（贝塔加负阿尔法）次方
这个时候已经是从中括号里面的数列里的每一项都提出来了一个n 因此数列每一项都要加个分母n
第一步结束 这时候得到的式子 是
n的（贝塔加负阿尔法）次方 *分式
分式分子部分 （（2i+1）/n）的阿尔法次方这个数列的和的贝塔+1次方 i从1到n
分式分母部分就是（2i/n）的贝塔次方这个数列的和的阿尔法+1次方 i从1到n
第二步开始
分式部分
分子部分等于是 2/n * n/2 的贝塔+1次方） *第一步结束的分子部分
分母部分等于是2/n * n/2 的阿尔法+1次方）*第一步结束的分母分
然后就是留一个 n/2分别在原数列的和里 把次方并起来 2/n这部分提出分式
得到一个2/n的贝塔减去阿尔法次方 第一步结束 的时候 分式前面的部分是n的贝塔减去阿尔法次方 这两者约分留了一个2的贝塔减去阿尔法次方
式子也就变成了你说的第一步转换那个样子。
不喜勿喷，高数只学了几十页。这转化过程我是对着结果列出来的。当然我并不知道为什么要这样约分。
1. 代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.
【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0
【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
=(0+1)/1
=1
2. 倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.
【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)
∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞
以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.
3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.
【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0
【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5
【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞
【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h
lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2
这实际上是为将来的求导数做准备.
4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.
【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0
【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]
÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-2
5. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.
【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx
lim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b
【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx
lim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b
6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.
【例12】lim[x-->∞]sinx/x
∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量
∵|sinx|∞]sinx/x=0
【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2
【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)
=1/4
【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50
【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0
【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
=(0+1)/1
=1
2. 倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.
【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)
∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞
以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.
3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.
【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0
【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5
【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞
【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h
lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2
这实际上是为将来的求导数做准备.
4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.
【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0
【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]
÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-2
5. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.
【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx
lim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b
【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx
lim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b
6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.
【例12】lim[x-->∞]sinx/x
∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量
∵|sinx|∞]sinx/x=0
【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2
【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)
=1/4
【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50
不会啊好难
答：1、分子分母都除以x，然后都移到根号里面去，这时候 分子里面的根号就会出现2/x 与1/x平方，容易知道这两个当x趋向无穷时趋向于0，就是两个无穷小量。分母也经过同样处理，也出现了两个无穷小量与一个常数。从而得到了我们想要的解。应该是二分之根号2吧 2、分子分母都除以x的25次方，然后利用...
答：点击放大：
答：回答：1)单调上升是明显的; 2)利用数学归纳法证明 1+√3 是数列的一个上界; ……
答：简单计算一下即可，答案如图所示
答：原式= lim 【f(a+2h)+f(a-h)】*lim (f(a+2h)-f(a-h))/h =2f(a)*{2lim 【f(a+2h)-f(a)】/(2h)+lim (f(a)-f(a-h))/h} =2f(a)*{3f'(a)} =2*2*3*3 =36。
答：【资料上的解答有错】
答：可以，有这样的公式 lim(a+b)=lima+limb 只需要分开后lima，limb均存在！！对于本题 lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x| =lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + limsinx/|x| x趋向0+时，1/x趋向+无穷大 可知同时除以e^(1/x)lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x...
答：∵∣cos{[√(n+1)+√n]/2}∣≦1，即cos{[√(n+1)+√n]/2}是有界函数，而sin{1/2[√(n+1)+√n]} 在n→∞时是无穷小量，按极限运算定理：有界变量与无穷小量的乘积仍然时无穷小量，故此 极限=0.
答：=lim(y->0)[y*ctan(πy/2)]=lim(y->0)[y*cos(πy/2)/sin(πy/2)]=lim(y->0){[(πy/2)/sin(πy/2)]*[(2/π)*cos(πy/2)]} ={lim(y->0)[(πy/2)/sin(πy/2)]}*{lim(y->0)[(2/π)*cos(πy/2)]} =1*(2/π) (应用重要极限lim(x->0(sinx/x...
答：求极限思路：先证明极限存在：归纳得Xn>0这个很好得到就不写了；然后1/xn就大于0，这步会吧，所以xn递增；所以由题给等式x(n+1)>2（n>0）,且xn=2，得到对任意N有xn≥2;然后得到1/xn小于等于1/2;所以x（n+1）小于等于2加1/2,此时就得到了xn单调递增有上限，有极限准则，得到有极限 有...
