均匀大地表面上阶跃偶极子场源的电磁场

4.4.3.1 瞬变电磁场的计算方法
理论上，计算瞬变电磁场可通过直接求解由时间域电磁场方程及相应边界条件构成的边值方程，但这样做往往难度较大。根据傅里叶变化对式(4.1.92)，时间域函数F(t)通过傅里叶变换可以转换为频率域函数F(ω)；反过来，频率域函数F(ω)通过傅里叶逆变换可以转换为时间域函数f(t)，两域电磁场通过积分可相互表达。这样，通过先计算频率域电磁场，再对频率域电磁场作逆傅里叶变换来获得瞬变电磁场显得更为便捷。这种瞬变电磁场的求解法称为“频率域法”，是常用的计算瞬变电磁场方法。
4.4.3.2 均匀大地表面垂直阶跃磁偶极子的瞬变电磁场表达式
为简单起见，我们讨论单阶跃波激励源情况。在均匀大地表面上讨论偶极场源为阶跃电流的大地电磁响应是瞬变电磁法的基础理论。令供电电流以阶跃规律变化，则时间域电磁场的激发磁矩为

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其频谱为

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均匀大地表面垂直谐变磁偶极子的电磁场已有完备的公式(见频率测深一节的式(4.3.8))。将该式中的Ms换为 ，便可得到均匀大地上垂直阶跃磁偶极子时间域电磁场的频谱，对其进行逆傅里叶变换，就可以得到均匀大地上垂直阶跃磁偶极子时间域电磁场表达式。
由于在时间域电磁法中，主要采用中心回线和框-回线装置，测量只涉及Eφ和 ，因此下面主要给出这两个参数的表达式。将式(4.3.8)第一式中的 MS换为 ，代入式(4.1.92)第二式，可得

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类似地，对 ，有

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式中：Φ(u)为概率积分。

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u=2πr/ 为辅助参数， =2π 为忽略位移电流时的瞬变场扩散参数，对无磁性介质并采用国际单位时，可写为

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式中：t为瞬变场扩散时间。
在Eφ(t)和 的运算中，要用到下列几个逆傅里叶变换，见表4.4.1。

表4.4.1 若干频率域函数的逆傅里叶变换

4.4.3.3 均匀大地表面垂直阶跃磁偶极子电磁场特征及视电阻率定义
由式(4.4.7)和(4.4.8)可知，均匀大地表面垂直阶跃磁偶极子电磁场特征主要受参数u或 /r控制。 /r没有量纲，通常将其称为无量纲时间。由于瞬变电磁场与大地电阻率和延迟时间t的关系比较复杂，只好利用极限条件下瞬变电磁场的表达式，推导出确定的视电阻率的简化公式。所谓极限条件，是指 /r→0或 /r→∞，前者称为早期(远区)，后者称为晚期(近区)。显然，电磁场属于早期还是晚期不仅取决于延迟时间t，还取决于观测点到场源的距离和大地介质的导电性。在导电性好的介质中或者距离场源很远，可以在较大的延迟时间内仍处于早期；反之，如果介质导电性较差或到场源的距离很远，可能在较小的延迟时间内就已处于晚期了。
(1)早期渐进特性和早期视电阻率公式
当 /r→0时，此时u→∞，Φ(u)→1，并且利用洛比达法则可证明 =0(k=1，3，5)，这样式(4.4.7)和式(4.4.8)经过适当的变化可得

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式中：εz(t)为变化磁场在接受线圈中产生的感生电动势；n为接受线圈的匝数；s为接受线圈的面积。
由上两式可归纳出早期瞬变电磁场有以下特征：
1)早期电磁场与大地电阻率成正变关系，即大地电阻率越差，早期瞬变电磁场越强。这是由于大地电阻率越差，它产生反抗一次磁场变化的感应电流的能力就越小，因而空间磁场衰减速度就越快，由此激发的涡流电场就越强。
2)早期电磁场随距离增加衰减很快(与r4～5成反比)，这表明早期感应电流集中于发射线圈附近。
3)早期磁场强度随时间的变化是线性的，电场强度则与时间无关。
由式(4.4.11)和式(4.4.12)可知，Eφ和εz(t)均与介质电阻率有关，由此可得到与早期极限条件相对应的确定ρr公式

电法勘探


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式中：N为发射线圈的匝数；S为发射线圈的面积；I为发射线圈的电流。
将式(4.4.7)和式(4.4.11)比较，可得早期视电阻率归一化表达式

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同样，可得

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图4.4.5 早期ρ曲线的特征

图4.4.5是按式(4.4.15)和式(4.4.16)绘出的均匀大地上早期电磁场定义的 /ρ1和 /ρ1相对于 /r的函数关系曲线。由图可见，当 /r＜2时， →ρ1，其误差小于5%。因此，一般
将 /r＜2作为早期条件。当不满足早期条件时， /ρ1随 /r的增加迅速单调减少。ρB/ρ1曲线在 /r≈2 =3.545时发生符号改变，因而 /ρ1曲线在该处中断。这是由于在早期，观测点位于电流环的右侧，因而观测到负的 Bz值；电流环随时间向外扩展，当观测点位于电流环以内时，Bz由负变正；Bz=0，正好是电流环边位于测点以下附件情况。由于电磁场随距离和时间衰减， 与Bz符号相反。两种曲线变化特征类似，只是 过零点的时间延迟。不满足早期条件下的视电阻率随时间的增加而急剧下降。
比较式(4.3.11)的第1式与式(4.4.11)可以看到，时间域早期电磁场与大地电阻率成正变关系，这一点与频率域远区电磁场的变化规律是相同的。这是由于它们此时同处波区，只是频率成分不同，谐变场是一个频率，而瞬变场含有若干个频率。
(2)晚期渐进特性和晚期视电阻率公式
当 /r→∞时，此时u→0。将Φ(u)及e-u2/2用泰勒级数展开为

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故

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代入式(4.4.7)，经过适当的变化可得

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类似地可推导出

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由上两式可归纳出晚期瞬变场具有如下特征：
1)晚期瞬变电磁场与大地电阻率成反比关系，即大地导电性越差，电磁场越弱。这是由于在导电性的大地上，磁场经早期衰减已衰减殆尽的缘故。
2)晚期感生电动势(或垂直磁场∂Bz(t)/∂t的强度)与位置无关，这是很重要的性质，利用这一性质可将水平共面装置的收发距随意改动，甚至可让它等于零，即成为共圈装置，这时其装置系数不变。
3)晚期瞬变电磁场随时间迅速衰减，与t5/2成反比。
从晚期场的上述特点可以看出，观测晚期瞬变场时，导电性好的地质环境中将有较强的信号水平，有利于观测。由于晚期场衰减很快，因此要观测足够时间范围的信号，测量仪器必须有很大的动态范围。
由式(4.4.18)和式(4.4.19)，可得到与晚期极限条件相对应的确定ρ公式

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将式(4.4.20)和式(4.4.21)分别代入式(4.4.7)和式(4.4.8)式，可得到晚期视电阻率归一化表达式

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图4.4.6是按式(4.4.22)绘出的均匀大地上由晚期瞬变电磁场定义的 和 相对于 /r的函数关系曲线。由图可见，当 /r ＞16 时， →ρ1，其误差小于5%。因此，一般将 /r＞16作为晚期条件。实际工作中晚期 公式较为常用，但也很难得到完整的晚期曲线，当不满足晚期条件时， 随 /r的减少急剧增大，且 曲线在 /r≈2 =3.545时发生符号改变。
综上所述，我们把 /r＜2 及 /r ＞16 分别确定为早期、晚期条件，那么把 /r=2～16的范围则称为瞬变电磁场的中间区，至今尚未推导出确定 的简单公式。
重叠回线装置和中心回线装置仍用式(4.4.21)计算晚期视电阻率，即

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式中：V(t)为接受回线中的感应电压；取μ=μ0。
实际工作中多敷设正方形回线，对于单匝的共圈回线或重叠回线装置，计算晚期视电阻率的公式可改写为

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式中：L为发射回线边长(单匝)，m；V(t)/I为观测值，μV/A；t为测道的时间，ms。
中心回线情况下，计算晚期视电阻率的公式亦可改写为如下形式：

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应当指出，早期和晚期视电阻率公式计算 值虽然简单，但当不满足早、晚期条件时，计算出来的 不收敛于大地的ρ1；且 曲线形态复杂，对根据 曲线或 断面等值线为资料来作定性解释造成困难。因此，需要使用适应于全期的确定视电阻率的计算手段。目前已有学者研究了适应于全期的 计算方法。

4.3.2.1 均匀大地表面上水平谐变电偶极源的电磁场
(1)电磁场表达式
在均匀大地表面上研究电偶极场源的电磁场是电磁勘探的重要理论问题。当接地电极A、B间的长度小于AB中心到观测点距离3～5倍时，在观测点处的场就可视为偶极子场。
设在地表上A、B连线方向为x轴，z轴朝下，由A、B接地电极供电的电流按负谐规律变化，即I=I0e-iωt。因为此时存在电性源，引入磁矢量位A，A的微分方程以及A与电磁场的关系由式(4.1.54)确定。这时，在电阻率为ρ1的均匀大地表面上电场和磁场的表达式为(推导过程可参考有关文献)

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式中：I0、K0、I1、K1分别为零阶和一阶的第一类和第二类修正贝塞尔函数，其宗量为 ；r为收发距；k1= ；PE=I×AB；φ为r方向与x轴的夹角。
(2)电磁场特征及视电阻率的定义
由于式(4.3.2)中电阻率以隐函数形式存在，故从中提出电阻率是不太可能。为解决这一问题，下面考虑近区和远区电磁场的特殊情况。
A.近区电偶极源电磁场
在近区，即 ≪1。考虑到e-k1r=1-k1r+ -…≈1-k1r+ ，可得

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代入式(4.3.2)的第一、二、六式，得

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由式(4.3.3)可知，电偶极子产生的近区电场水平分量与直流电场相同，与频率无关，显示不出交变电磁场的特点。磁场垂直分量与介质电阻率无关，不反映地电特性。因此频率测深不存在近区工作装置。
B.远区电偶极源电磁场及视电阻率的定义
在远区，即 ≫1，利用宗量很大时虚宗量贝塞尔函数的渐近表达式

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均取前两项，并考虑此时有e-k1r→0，则式(4.3.2)简化为

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由式(4.3.4)可以看出，所有远区场的水平分量均与r3成反比，而垂直分量与r4成反比。磁场水平分量与 成比例，因此它对电阻率的分辨能力较差。
赤道装置(测点在y轴上，φ=90°)，由式(4.3.4)可得

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轴向装置(测点在x轴上，φ=0°)，此时

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除上述赤道偶极和轴向偶极装置外，理论上可使用任意角偶极装置(如CSAMT装置，后面将单独介绍)。
可以采用多种方式来确定均匀大地的电阻率或不均匀大地的视电阻率，由式(4.3.5)并考虑场的特性等因素，可得到时谐电偶极子场源远区赤道装置几种电磁场定义的电阻率公式(均匀大地时为电阻率，不均匀大地时为视电阻率，下同)

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式(4.3.7)的第三式与平面波推导出的结果相同，这是偶极源的远区场具有不均匀平面波性质的较好证明。
4.3.2.2 均匀大地表面上垂直谐变磁偶极源的电磁场
(1)电磁场表达式
对于水平线圈垂直磁偶极子发射源，也可做类似的讨论。因为存在磁性源，引入电矢量位A*，A*的微分方程以及A*与电磁场的关系由式(4.1.55)确定。这里直接写出一种解型

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对式(4.3.2)的第六式和式(4.3.8)的第一式进行归一化，可得

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比较式(4.3.9)和式(4.3.10)可证明互换原理，即AB-s和S-MN是可互换的。
(2)远区场视电阻率的定义
当k1r≪1时，为近区，也称为感应区。近区电磁场中均匀大地感应出的二次场远远小于一次场，这意味着在频率域，要想在近区测量包含强大的一次场的电磁场分量来确定介质导电性在技术上是困难的。因此，一般情况下在远区观测，把 k1r≫1 条件应用于式(4.3.8)可得远区电磁场的表达式

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测量电磁场的任何分量都可以来确定均匀大地的电阻率或不均匀大地的视电阻率

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也可以通过水平电场和水平磁场定义的波阻抗来确定均匀大地的电阻率和不均匀大地的视电阻率

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比较垂直磁偶极子和水平电偶极子的远区电磁场的表达式，可以发现垂直磁偶极子的远区电磁场的水平电场分量是与r4成反比例衰减的，而水平电偶极子远区水平电磁场是与r3成反比例衰减的，后者的衰减速度比前者慢得多。由于频率电磁测深均在远区观测，为了保持有足够强的信号，一般都使用水平谐变电偶极子作为场源，仅在探测深度小和接地困难的地方使用垂直磁偶极子作为场源。而瞬变电磁法和航空电磁法主要用磁偶极子作为场源，后面将会讨论。
下面将重点介绍采用水平谐变电偶极子场源的一种重要方法——可控源音频大地电磁测深。

在均匀大地表面上讨论偶极场源为阶跃电流的大地电磁响乃是瞬变电磁法的基础理论。令供电电流以阶跃规律变化，即

为

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在数学上瞬变场与谐度场的关系，可借助于傅里叶变换式予以表达：

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下面利用（1⁃3⁃177）式给出几种典型函数的傅里叶反变换。通过它可得时域表达式。当F（ω）=1时，

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当F（ω）=e^-k1r时，

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式中u=

，τ=2π

=

为概率积分。对于上式的r求导数得：

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上式两边再对r求导，并同时乘以r，得：

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将（1⁃3⁃180）式代入（1⁃3⁃181）式左端第一项，得：

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类似地，上式再对r求导，并对两边同乘以r，得：

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为了应用方便，将以上结果列于表1⁃3⁃2。

表1⁃3⁃2 若干频率域函数的反傅里叶变换

（一）水平电偶极子激发的垂直磁场瞬变响应

由（1⁃3⁃167）式：

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或

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利用表1⁃3⁃2的傅里叶反变换关系，将（1⁃3⁃184）和（1⁃3⁃185）式变换为磁场过渡特性函数：

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从上两式右端提出公共函数，则

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重写（1⁃3⁃186）和（1⁃3⁃187）式：

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均匀半空间瞬变场响应特性的讨论可采用ρt/r²为自变量，这样可明显地看出瞬变场和电阻率、收⁃发距及时间的关系。图1⁃3⁃24 给出函数f（u）和ρt/r²的关系曲线。我们称这一曲线为“空间时间特性曲线”或“过渡特性曲线”。

在图1⁃3⁃24（a）上表示的垂直磁场的时间特性曲线具有极大值。曲线左支属远区（或早期），ρt/r²＜0.04，而右支属近区（或晚期）ρt/r²＞4。在中间区的极大点附近，垂直磁场分量与介质电阻率的关系较小。在图1⁃3⁃24（b）上给出了当改变介质电阻率（或收⁃发距）时，特性曲线及其极大值随时间的位移规律。

（二）垂直磁偶极子激发的瞬变电磁响应

由垂直磁偶极子激发的瞬变电磁响应，可利用上述谐变场的（1⁃3⁃174）式，通过傅里叶反变换得到。

图1⁃3⁃24 电偶极子的正常场空间时间特性函数

1.电场

由（1⁃3⁃174）式利用表1⁃3⁃2即可求得阶跃电流激发下的电场切向分量表达式为

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式中

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（1）当t→0或r很大时，称为早期或远区，由于u→∞，故Φ（u）→0，且利用洛毕达法则可证明

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故

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该式与频率域远区公式完全相同，说明

与介质电阻率ρ₁的一次方成正比。由此远区电阻率或视电阻率定义为

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式中

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可以用（1⁃3⁃191）代替（1⁃3⁃190）式的条件（即满足远区的条件∙∙∙∙∙）是∙τ/r＜2，即∙∙∙∙

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当τ/r＜2时，e_φ≈1，其误差≤5%。

（2）当τ/r足够大时，u＜1，称为近区或晚期，将Φ（u）和e^-u2/2进行泰勒级数展开，取前几项：

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则

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于是

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由此求得：

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当介质不均匀时得近区视电阻率定义式为

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由（1⁃3⁃194）式可见瞬变场在近区由于

，说明它与大地电导率的高次方成正比，对大地电阻率的灵敏度比早期（远区）高。可以证明当τ/r＞16时，用（1⁃3⁃194）式代替（1⁃3⁃190）式，其误差小于5%。故τ/r＞16为近区条件。

2.磁场

由（1⁃3⁃174）式，利用表1⁃3⁃2对该式进行傅里叶反变换即可求得在阶跃电流激发下的垂直磁场分量表达式：

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野外除直接测量磁场外，也常常用线圈进行感应电动势测量，这时测到的感应电动势：

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式中s为接收线圈面积，n为其匝数，μ为其磁导率。

将（1⁃3⁃197）代入上式得：

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（1）远区为t→0，或r很大，于是得：

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由此可得远区（早期）电阻率或视电阻率公式：

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（2）近区（或晚期）

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由此得近区电阻率或视电阻率表达式为

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式中

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而

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由此得：

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