均匀大地表面上谐变偶极子场源的电磁场

4.3.2.1 均匀大地表面上水平谐变电偶极源的电磁场
(1)电磁场表达式
在均匀大地表面上研究电偶极场源的电磁场是电磁勘探的重要理论问题。当接地电极A、B间的长度小于AB中心到观测点距离3～5倍时，在观测点处的场就可视为偶极子场。
设在地表上A、B连线方向为x轴，z轴朝下，由A、B接地电极供电的电流按负谐规律变化，即I=I0e-iωt。因为此时存在电性源，引入磁矢量位A，A的微分方程以及A与电磁场的关系由式(4.1.54)确定。这时，在电阻率为ρ1的均匀大地表面上电场和磁场的表达式为(推导过程可参考有关文献)

电法勘探

式中：I0、K0、I1、K1分别为零阶和一阶的第一类和第二类修正贝塞尔函数，其宗量为 ；r为收发距；k1= ；PE=I×AB；φ为r方向与x轴的夹角。
(2)电磁场特征及视电阻率的定义
由于式(4.3.2)中电阻率以隐函数形式存在，故从中提出电阻率是不太可能。为解决这一问题，下面考虑近区和远区电磁场的特殊情况。
A.近区电偶极源电磁场
在近区，即 ≪1。考虑到e-k1r=1-k1r+ -…≈1-k1r+ ，可得

电法勘探

代入式(4.3.2)的第一、二、六式，得

电法勘探

由式(4.3.3)可知，电偶极子产生的近区电场水平分量与直流电场相同，与频率无关，显示不出交变电磁场的特点。磁场垂直分量与介质电阻率无关，不反映地电特性。因此频率测深不存在近区工作装置。
B.远区电偶极源电磁场及视电阻率的定义
在远区，即 ≫1，利用宗量很大时虚宗量贝塞尔函数的渐近表达式

电法勘探

均取前两项，并考虑此时有e-k1r→0，则式(4.3.2)简化为

电法勘探

由式(4.3.4)可以看出，所有远区场的水平分量均与r3成反比，而垂直分量与r4成反比。磁场水平分量与 成比例，因此它对电阻率的分辨能力较差。
赤道装置(测点在y轴上，φ=90°)，由式(4.3.4)可得

电法勘探

轴向装置(测点在x轴上，φ=0°)，此时

电法勘探

除上述赤道偶极和轴向偶极装置外，理论上可使用任意角偶极装置(如CSAMT装置，后面将单独介绍)。
可以采用多种方式来确定均匀大地的电阻率或不均匀大地的视电阻率，由式(4.3.5)并考虑场的特性等因素，可得到时谐电偶极子场源远区赤道装置几种电磁场定义的电阻率公式(均匀大地时为电阻率，不均匀大地时为视电阻率，下同)

电法勘探

式(4.3.7)的第三式与平面波推导出的结果相同，这是偶极源的远区场具有不均匀平面波性质的较好证明。
4.3.2.2 均匀大地表面上垂直谐变磁偶极源的电磁场
(1)电磁场表达式
对于水平线圈垂直磁偶极子发射源，也可做类似的讨论。因为存在磁性源，引入电矢量位A*，A*的微分方程以及A*与电磁场的关系由式(4.1.55)确定。这里直接写出一种解型

电法勘探

对式(4.3.2)的第六式和式(4.3.8)的第一式进行归一化，可得

电法勘探


电法勘探

比较式(4.3.9)和式(4.3.10)可证明互换原理，即AB-s和S-MN是可互换的。
(2)远区场视电阻率的定义
当k1r≪1时，为近区，也称为感应区。近区电磁场中均匀大地感应出的二次场远远小于一次场，这意味着在频率域，要想在近区测量包含强大的一次场的电磁场分量来确定介质导电性在技术上是困难的。因此，一般情况下在远区观测，把 k1r≫1 条件应用于式(4.3.8)可得远区电磁场的表达式

电法勘探

测量电磁场的任何分量都可以来确定均匀大地的电阻率或不均匀大地的视电阻率

电法勘探

也可以通过水平电场和水平磁场定义的波阻抗来确定均匀大地的电阻率和不均匀大地的视电阻率

电法勘探

比较垂直磁偶极子和水平电偶极子的远区电磁场的表达式，可以发现垂直磁偶极子的远区电磁场的水平电场分量是与r4成反比例衰减的，而水平电偶极子远区水平电磁场是与r3成反比例衰减的，后者的衰减速度比前者慢得多。由于频率电磁测深均在远区观测，为了保持有足够强的信号，一般都使用水平谐变电偶极子作为场源，仅在探测深度小和接地困难的地方使用垂直磁偶极子作为场源。而瞬变电磁法和航空电磁法主要用磁偶极子作为场源，后面将会讨论。
下面将重点介绍采用水平谐变电偶极子场源的一种重要方法——可控源音频大地电磁测深。

4.4.3.1 瞬变电磁场的计算方法
理论上，计算瞬变电磁场可通过直接求解由时间域电磁场方程及相应边界条件构成的边值方程，但这样做往往难度较大。根据傅里叶变化对式(4.1.92)，时间域函数F(t)通过傅里叶变换可以转换为频率域函数F(ω)；反过来，频率域函数F(ω)通过傅里叶逆变换可以转换为时间域函数f(t)，两域电磁场通过积分可相互表达。这样，通过先计算频率域电磁场，再对频率域电磁场作逆傅里叶变换来获得瞬变电磁场显得更为便捷。这种瞬变电磁场的求解法称为“频率域法”，是常用的计算瞬变电磁场方法。
4.4.3.2 均匀大地表面垂直阶跃磁偶极子的瞬变电磁场表达式
为简单起见，我们讨论单阶跃波激励源情况。在均匀大地表面上讨论偶极场源为阶跃电流的大地电磁响应是瞬变电磁法的基础理论。令供电电流以阶跃规律变化，则时间域电磁场的激发磁矩为

电法勘探

其频谱为

电法勘探

均匀大地表面垂直谐变磁偶极子的电磁场已有完备的公式(见频率测深一节的式(4.3.8))。将该式中的Ms换为 ，便可得到均匀大地上垂直阶跃磁偶极子时间域电磁场的频谱，对其进行逆傅里叶变换，就可以得到均匀大地上垂直阶跃磁偶极子时间域电磁场表达式。
由于在时间域电磁法中，主要采用中心回线和框-回线装置，测量只涉及Eφ和 ，因此下面主要给出这两个参数的表达式。将式(4.3.8)第一式中的 MS换为 ，代入式(4.1.92)第二式，可得

电法勘探

类似地，对 ，有

电法勘探

式中：Φ(u)为概率积分。

电法勘探

u=2πr/ 为辅助参数， =2π 为忽略位移电流时的瞬变场扩散参数，对无磁性介质并采用国际单位时，可写为

电法勘探

式中：t为瞬变场扩散时间。
在Eφ(t)和 的运算中，要用到下列几个逆傅里叶变换，见表4.4.1。

表4.4.1 若干频率域函数的逆傅里叶变换

4.4.3.3 均匀大地表面垂直阶跃磁偶极子电磁场特征及视电阻率定义
由式(4.4.7)和(4.4.8)可知，均匀大地表面垂直阶跃磁偶极子电磁场特征主要受参数u或 /r控制。 /r没有量纲，通常将其称为无量纲时间。由于瞬变电磁场与大地电阻率和延迟时间t的关系比较复杂，只好利用极限条件下瞬变电磁场的表达式，推导出确定的视电阻率的简化公式。所谓极限条件，是指 /r→0或 /r→∞，前者称为早期(远区)，后者称为晚期(近区)。显然，电磁场属于早期还是晚期不仅取决于延迟时间t，还取决于观测点到场源的距离和大地介质的导电性。在导电性好的介质中或者距离场源很远，可以在较大的延迟时间内仍处于早期；反之，如果介质导电性较差或到场源的距离很远，可能在较小的延迟时间内就已处于晚期了。
(1)早期渐进特性和早期视电阻率公式
当 /r→0时，此时u→∞，Φ(u)→1，并且利用洛比达法则可证明 =0(k=1，3，5)，这样式(4.4.7)和式(4.4.8)经过适当的变化可得

电法勘探


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式中：εz(t)为变化磁场在接受线圈中产生的感生电动势；n为接受线圈的匝数；s为接受线圈的面积。
由上两式可归纳出早期瞬变电磁场有以下特征：
1)早期电磁场与大地电阻率成正变关系，即大地电阻率越差，早期瞬变电磁场越强。这是由于大地电阻率越差，它产生反抗一次磁场变化的感应电流的能力就越小，因而空间磁场衰减速度就越快，由此激发的涡流电场就越强。
2)早期电磁场随距离增加衰减很快(与r4～5成反比)，这表明早期感应电流集中于发射线圈附近。
3)早期磁场强度随时间的变化是线性的，电场强度则与时间无关。
由式(4.4.11)和式(4.4.12)可知，Eφ和εz(t)均与介质电阻率有关，由此可得到与早期极限条件相对应的确定ρr公式

电法勘探


电法勘探

式中：N为发射线圈的匝数；S为发射线圈的面积；I为发射线圈的电流。
将式(4.4.7)和式(4.4.11)比较，可得早期视电阻率归一化表达式

电法勘探

同样，可得

电法勘探


图4.4.5 早期ρ曲线的特征

图4.4.5是按式(4.4.15)和式(4.4.16)绘出的均匀大地上早期电磁场定义的 /ρ1和 /ρ1相对于 /r的函数关系曲线。由图可见，当 /r＜2时， →ρ1，其误差小于5%。因此，一般
将 /r＜2作为早期条件。当不满足早期条件时， /ρ1随 /r的增加迅速单调减少。ρB/ρ1曲线在 /r≈2 =3.545时发生符号改变，因而 /ρ1曲线在该处中断。这是由于在早期，观测点位于电流环的右侧，因而观测到负的 Bz值；电流环随时间向外扩展，当观测点位于电流环以内时，Bz由负变正；Bz=0，正好是电流环边位于测点以下附件情况。由于电磁场随距离和时间衰减， 与Bz符号相反。两种曲线变化特征类似，只是 过零点的时间延迟。不满足早期条件下的视电阻率随时间的增加而急剧下降。
比较式(4.3.11)的第1式与式(4.4.11)可以看到，时间域早期电磁场与大地电阻率成正变关系，这一点与频率域远区电磁场的变化规律是相同的。这是由于它们此时同处波区，只是频率成分不同，谐变场是一个频率，而瞬变场含有若干个频率。
(2)晚期渐进特性和晚期视电阻率公式
当 /r→∞时，此时u→0。将Φ(u)及e-u2/2用泰勒级数展开为

电法勘探

故

电法勘探

代入式(4.4.7)，经过适当的变化可得

电法勘探

类似地可推导出

电法勘探

由上两式可归纳出晚期瞬变场具有如下特征：
1)晚期瞬变电磁场与大地电阻率成反比关系，即大地导电性越差，电磁场越弱。这是由于在导电性的大地上，磁场经早期衰减已衰减殆尽的缘故。
2)晚期感生电动势(或垂直磁场∂Bz(t)/∂t的强度)与位置无关，这是很重要的性质，利用这一性质可将水平共面装置的收发距随意改动，甚至可让它等于零，即成为共圈装置，这时其装置系数不变。
3)晚期瞬变电磁场随时间迅速衰减，与t5/2成反比。
从晚期场的上述特点可以看出，观测晚期瞬变场时，导电性好的地质环境中将有较强的信号水平，有利于观测。由于晚期场衰减很快，因此要观测足够时间范围的信号，测量仪器必须有很大的动态范围。
由式(4.4.18)和式(4.4.19)，可得到与晚期极限条件相对应的确定ρ公式

电法勘探


电法勘探

将式(4.4.20)和式(4.4.21)分别代入式(4.4.7)和式(4.4.8)式，可得到晚期视电阻率归一化表达式

电法勘探

图4.4.6是按式(4.4.22)绘出的均匀大地上由晚期瞬变电磁场定义的 和 相对于 /r的函数关系曲线。由图可见，当 /r ＞16 时， →ρ1，其误差小于5%。因此，一般将 /r＞16作为晚期条件。实际工作中晚期 公式较为常用，但也很难得到完整的晚期曲线，当不满足晚期条件时， 随 /r的减少急剧增大，且 曲线在 /r≈2 =3.545时发生符号改变。
综上所述，我们把 /r＜2 及 /r ＞16 分别确定为早期、晚期条件，那么把 /r=2～16的范围则称为瞬变电磁场的中间区，至今尚未推导出确定 的简单公式。
重叠回线装置和中心回线装置仍用式(4.4.21)计算晚期视电阻率，即

电法勘探

式中：V(t)为接受回线中的感应电压；取μ=μ0。
实际工作中多敷设正方形回线，对于单匝的共圈回线或重叠回线装置，计算晚期视电阻率的公式可改写为

电法勘探

式中：L为发射回线边长(单匝)，m；V(t)/I为观测值，μV/A；t为测道的时间，ms。
中心回线情况下，计算晚期视电阻率的公式亦可改写为如下形式：

电法勘探

应当指出，早期和晚期视电阻率公式计算 值虽然简单，但当不满足早、晚期条件时，计算出来的 不收敛于大地的ρ1；且 曲线形态复杂，对根据 曲线或 断面等值线为资料来作定性解释造成困难。因此，需要使用适应于全期的确定视电阻率的计算手段。目前已有学者研究了适应于全期的 计算方法。

（一）谐变电偶极子场源的电磁场

在均匀大地表面上研究交变电偶极子场源的正常电磁场是电法勘探的重要理论问题。接地电极A、B间之长度小于AB中心到观测点之间距离的3～5倍时，在观测点处的场就可近似认为是偶极子场。

设在地表上A、B连线方向为X轴，Z轴朝下。并设由电极A、B供电的电流按负谐时e^-iωt变化，这时，在电阻率为ρ₁的均匀大地表面上电场和磁场的表达式为

地电场与电法勘探

式中I₀、K₀、I₁、K₁为零阶和一阶的第一类和第二类修正贝塞尔函数，其宗量为1 2k₁r；r为收-发距；k₁ =；P_E为电流偶极矩P_E=；φ为r方向与X轴的夹角。

先来讨论电场分量的空间频率特性。将（1-3-164）式前两式利用坐标转换公式：

地电场与电法勘探

变换为

地电场与电法勘探

利用直流电场表达式：

地电场与电法勘探

分别对（1-3-165）式进行归一化，得：

地电场与电法勘探

这便是均匀半空间的电场空间频率特性函数，它只与量纲一参数p=|k₁r|有关，描述了介质中谐变电场的特性（见图1-3-22）。

由图可见，当量纲一参数（或称综合参数）很小时（p＜0.5），e_r和 e_φ均接近于1，即交流电场逼近于直流电场。故按ρ（ω）=计算的交流电阻率与直流电阻率相同，此式中K为直流电法中的装置系数。我们已经知道，p=k₁r很小的范围为近区。相反，当p＞10（远区）时，e_φ→2，而e_r→1/2。这表明赤道装置（φ=90 °）的交流电阻率为介质真电阻率的2倍，而轴向装置（φ=0°）的交流电阻率为介质真电阻率的1/2。

图1-3-22 电偶极子正常电场空间频率特性曲线

现在，从（1-3-164）式来讨论磁场垂直分量的空间频率特性函数的变化规律。为此，利用毕-沙定律确定的直流偶极磁场的表达式：

地电场与电法勘探

归一化，得：

地电场与电法勘探

图1-3-23 电偶极子垂直磁场正常场空间频率特性曲线

按上式计算的曲线绘于图1-3-23。由图可见，当p≪1时 h_z值逼近于1，即交变磁场与直流磁场无区别；而随着频率或参数p的增加 h_z值急剧减小。利用p≫1 条件，由（1-3-167）式可导出h_z的右支曲线表达式：

地电场与电法勘探

此时 h_z与频率成反比。

由于（1-3-164）式中电阻率以隐函数形式存在，故从中提出电阻率ρ₁是不太可能的。为了解决这一问题，下面考虑近区和远区的特殊情况。

在近区，当k₁ r→0时，考虑到e^-k₁^r≈1-k₁ r在近区，当k₁ r→0时，考虑到e^-k₁^r≈1-k₁ r得出对于赤道装置（φ=90 °）：

地电场与电法勘探

对于轴向装置（φ=0°）：

地电场与电法勘探

而对于磁场垂直分量为

地电场与电法勘探

由此可见，由电偶极子产生的近区电磁场与直流相同，显示不出交变电磁场特点。尤其是磁场分量与介质电阻率无关，即不反映地电特性。

在远区，当k₁ r→∞时，考虑到e^-k₁^r→0，由（1-3-164）式得赤道装置：在远区，当k₁ r→∞时，考虑到e^-k₁^r→0，由（1-3-164）式得赤道装置：

地电场与电法勘探

对于轴向装置：

地电场与电法勘探

由以上式子看出，所有远区场的水平分量均与r³ 成反比，而垂直分量与r⁴ 成反比。另外，磁场水平分量与成比例，所以它对电阻率的分辨能力较差。

对于赤道装置，理论上可采用下述五种方法来确定均匀大地的电阻率或非均匀大地的视电阻率。由（1-3-168）式有

地电场与电法勘探

上式第四式与平面电磁波情况相同。这是偶极场的远区具有不均匀平面波性质的较好证明。

在实际工作中用的交流电阻率公式，仍然是

地电场与电法勘探

考虑到ΔU_ω=E_ω·MN，P_E=，由（1-3-170）第一式得：

地电场与电法勘探

可见，装置系数为

地电场与电法勘探

对于测量垂直磁场的情况。因为磁场产生的感应电动势为

地电场与电法勘探

式中s为接收线框面积，n为匝数。利用上式由（1-3-170）第三式得：

地电场与电法勘探

可见，装置系数为

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（二）谐变磁偶极子场源的电磁场

对于水平线圈垂直磁偶极子发射源，也可作完全类似的讨论。这时其电磁场表达式为

地电场与电法勘探

式中磁矩P_M=ISN，S为发射线圈面积，I为其中的电流，N为匝数。

当ω→0，即k₁r→0时，利用指数函数展开简化上式得直流场表达式：

地电场与电法勘探

利用上式将（1-3-174）式归一，得空间频率特性函数：

地电场与电法勘探

比较（1-3-164）式第六式和（1-3-174）式第一式可证明互换原理，即AB-s和S-MN是可互换的，S表示发射线圈，s表示接收线圈。远.区.场.的电阻率或视电阻率公式为

地电场与电法勘探