【高等数学】两个重要的极限
一、首个关键极限：一个公式揭示的智慧
当分子和分母共享一个变量，且分子趋于零时，极限的魔力显现。公式揭示了这样的规律：当 (x-a)趋近于0， (f(x) - L)乘以 (1/(x-a))的极限为 f(a)本身。
例1： 求 lim (x->a) [(f(x) - f(a)) / (x-a)]，利用这个公式，我们有：
注意到 x->a 时，f(x) - f(a) 可以凑成 (x-a) * g(x) 形式，抵消后得到 f'(a)。
注： 原趋势的关键在于保证 (x-a) 趋近于 0，替换或直接计算皆可。
二、第二个关键极限：乘幂奇缘
当面对形如 (1 + h)^n 或 (1 + 1/h)^n 的极限问题，两个公式为我们提供了解决之道：若 h 趋近于 0，极限分别为 e^n 和 1。它们的共同点是倒数关系，确保幂次项抵消。
例2： 求 lim (x->0) [(1 + x)^1/x]，可以通过 1 + x 变形为 (1 + 1/x)，应用右极限公式。
注： 保持 h 或 1/h 的趋势不变，即可顺利求解。
附加：极限的运算神器
掌握极限的指数运算法则，如若 lim (x->a) [f(x)^g(x)] 存在，那么 lim (x->a) [f(x)]^g(x) = [lim (x->a) f(x)]^[lim (x->a) g(x)]，这为复杂极限问题提供了简便路径。
导数定义的极限公式：逼近速度的揭示
最后，让我们聚焦导数定义的极限公式：若 f(x) 在 x=a 点连续，那么 f'(a) = lim (h->0) [f(a+h) - f(a)] / h，这是理解函数变化率的基石。
例3： 求 f'(a)，只需将极限应用于此公式，我们有：
...
通过理解并熟练运用这些关键极限，我们就能在求解高等数学中的极限问题时游刃有余。
答：高数没有八个重要极限公式，只有两个。1、第一个重要极限的公式：lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1；特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，无穷小的性质得到的极限是0。2、第二个重要极限的公式：lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）＾...
答：两个重要极限的应用如下：一、第一个重要极限：lim ((sinx)/x)=1 (x->0)在数学中，当我们考虑一个变量趋近于无穷小或无穷大的时候，我们常常需要引入无穷小量的概念。这个极限告诉我们，当x趋近于0时，sinx与x的比值趋近于1。这意味着在x接近0的情况下，正弦函数的行为与直线的行为非常接近。二...
答：极限 分子分母同时除以x，注意x→oo，所以1/x→0
答：=(x^2+x)/(x+x)=0.5*(1+x)=0.5
答：lim((sinx)/x)=1(x->0)，lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘...
答：原式=lim e^（ln（e^x+x）/x）=lim e^【（e^x+1）/（e^x+x）/1】=lim e^【（e^x+1）/（e^x+x）】=e^【（e^0+1）/（e^0+0）】=e^2
答：极限存在的两大准则揭示数学奥秘：在高等数学的领域里，极限是理解函数和数列行为的关键。首先，我们来看夹逼准则，也称为放缩思想，它是数列极限定义的基石。当一个数列{}和{}满足这样的条件：从某项起，比如当n>N时，有 \[ \lim_{{n \to \infty}} a_n \leq \lim_{{n \to \infty}} b...
答：第二个重要极限其先决条件有如下3个要素:1)被求极限的函数是幂指函数;2)是1^∞型的未定式;3)指数与(底数-1)互为倒数 结果则等于e 本题分子不满足条件3),所以不能直接使用第二重要极限.
答：两个都可以用导数的定义来证明，或者是洛必达法则。第一个是sinx在（0，0）处的导数。第二个先取对数In，是In(x+1)的导数，算出来是1，结果是e∨1。
答：(3)let y=x-nπ lim(x->nπ) sinx/(x-nπ)=lim(y->0) sin(nπ+y)/y case 1: n 是奇数 lim(y->0) sin(nπ+y)/y =lim(y->0) -siny/y =-1 case 2: n 是偶数 lim(y->0) sin(nπ+y)/y =lim(y->0) siny/y =1 ...
