（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，

（1）BC＝3 （2）y ＝ x＋ ． 0＜x≤15）（3）x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直 试题分析：解：（1）作BH⊥AC于点H（如图一）， ∵在Rt△ABH中，cos∠A＝ ，AB＝15，∴AH＝12………………………………………………（1分）∴BH＝9．………………………………………………（1分）∵AC＝15∴CH＝3．………………………………………………（1分）∵BC 2 ＝BH 2 ＋CH 2 ，∴BC 2 ＝9 2 ＋3 2 ＝90，∴BC＝3 ．…（1分）（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F（如图一），∵点O是BC的中点，∴OE＝OF＝ BH＝ ．∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5．∵PA＝x，∴PC＝15－x，∴y ＝ S △ ABC －S △ BOM －S △ COP ＝ BH·AC― OE·BM― OF·PC＝ ×9×15－ － …………………（1+1分）＝ x＋ ．…………………………………（1分）定义域：（0＜x≤15）．…………………………… （1分）（3）①当PN⊥AC时（如图二），作MG⊥AC于点G， ∵在Rt△AMG中，cos∠A＝ ，AM＝10∴AG＝8，∴MG＝6．①若点P 1 在AG上，由折叠知：∠AP 1 M＝135°，∴∠MP 1 G＝45°．∵MG⊥AC，∴P 1 G＝MG＝6，………（1分）∴AP 1 ＝AG－P 1 G＝2．…………（1分）②若点P 2 在CG上，由折叠知：∠AP 2 M＝45°．∵MG⊥AC，∴P 2 G＝MG＝6，∴AP 2 ＝AG＋P 2 G＝14．…………（2分）③当MN⊥AC时（如图三）， 由折叠知：∠AMP 3 ＝∠NMP 3 ，P 3 N 3 ＝AP 3 ＝x，MN 3 ＝MA＝10，∴P 3 G＝8－x，GN 3 ＝4．∵P 3 N 3 2 ＝P 3 G 2 ＋GN 3 2 ，∴x 2 ＝（8－x） 2 ＋4 2 ，∴x＝5．……（2分）综上所述，x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．点评：本题的考查在于建立三角函数模型，主要考查函数的应用。解决此类问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．

（1） ，……（1分）因为 ，所以 在区间 上是增函数，故 ，解得 ．（3分）（2）由已知可得 ，……（1分）所以 可化为 ，…………（1分）化为 ，令 ，则 ，因 ，故 ，记 ，因为 ，故 ，…………（3分）所以 的取值范围是 ．…………（1分）（3）原方程可化为 ，……（1分）令 ，则 ， 有两个不同的实数解 ， ，其中 ， ，或 ， ．……（3分）记 ，则 ①或 ② …………（2分）解不等组①，得 ，而不等式组②无实数解．所以实数 的取值范围是 ．………………（2分） 略