高数证明题第八
令1-x=t ，x=1-t， ∫x^m(1-x)^ndx (0,1)= -∫(1-t)^mt^ndt (1,0)= ∫(1-t)^mt^ndt (0,1)= ∫x^n(1-x)^mdx (0,1)
在证明这个命题之前，我们先介绍一个关于正项级数的性质：若发散的正项级数 ∑Qn 的一般项 Qn 单调递减且有极限 lim Qn = 0 ，则对于任意的 ε > 0 和正整数 n ,必存在整数 p≥0 使得 ∑Qi ＞ ε （注：此处求和指标中的 i 取值范围为 n ≤ i ≤ n+p-1 ，也就是说这里的求和是以 Qn 为首项的连续 p 个数的和）。以下的证明将以上述的性质为依据展开。
由级数 ∑Un 条件收敛可知该级数的一般项的极限 lim Un = 0 。为了方便下一步证明我们先将级数 ∑Un 的一般项 Un 按照绝对值从大到小的顺序进行重排（注意：重排后的级数未必收敛）。然后，我们将重排后的级数中的正项和负项分离为两个正项级数 ∑An 和 ∑Bn （注：此处的负项级数 ∑Bn 是提取过负号的），则正项级数 ∑An 和 ∑Bn 均发散且一般项单调递减并以 0 为极限 。下一步我们将每次从级数 ∑An 和 ∑Bn 中分别取出若干项构造出新级数的一般项，并使得新级数的部分和收敛于 a 。
为了方便讨论，我们先考虑 a 为有限值的情形。
假设作出的新级数的一般项 Qn ，且级数 ∑Qn 的部分和为 S（n）。 第一步，我们取 ε = |a|，然后做出新级数的第一项 Q1 使得 |a - S（1）|＜ ε ；第二步，做出级数的第二项 Q2 使得 |a - S（2）|＜ε/2 ；……然后第 n 部，做出级数的第 n 项 Qn 使得 |a - S（n）|＜ε/2^n ……
若我们能做出满足以上条件的级数 ∑Qn ，那么命题就得到了证明。实际上满足上述条件的级数是存在的。为了生成新的级数，我们每次分别从级数 ∑An 和 ∑Bn 中按照从大到小的顺序取出至少一项组成新的级数的一般项。比如对于级数 ∑Qn 的第一项 Q1，我们先从两个级数中各取一项使得 Q1 = A1 - B1 ，然后我们验证 Q1 是否满足条件 |a - S（1）|＜ ε ，如果满足该条件则级数的第一项构造完成；如果不满足该条件，我们继续从两个级数 ∑An 和 ∑Bn 按照从大到小的顺序选取新的项（此时不必从两个级数中各取一项，而是可以取任意项）并追加到 Q1 中，由于级数 ∑An 和 ∑Bn 都是递减的正项级数且一般项均以 0 为极限，因此只要适当的进行选取总是可以使得 Q1 = （A1 + A2 +……+ Aa1）-（B1 + B2 +……+ Bb1）得以满足条件 |a - S（1）|＜ ε 。够造出级数 ∑Qn 的第一项之后，我们可以按照构造第一项的方法从级数 ∑An 和 ∑Bn 剩余的项中继续按照从大到小的顺序选取若干项组成级数的第二项 Q2=（Aa1+1 + Aa1+2 +……+ Aa2）-（Bb1+1 + Bb1+2 +……+ Bb2）使得级数满足 |a - S（2）|＜ε/2 。…… 然后，我们可以继续构造出级数的第 n+1 项 Qn+1 = （Aan+1 + Aan+2 +……+ An+p）-（Bbn+1 + Bbn+2 +……+ Bbn+q）（注：两个括号中均为有限项）使得级数满足条件 |a - S（n+1）|＜ε/2^（n+1） 。 ……
通过上述步骤做出的新的级数 ∑Qn 可以遍历级数 ∑Un 中的所有项（因为每个 Qn 中至少包含一个正项和一个负项），级数的一般项的极限 limQn = 0 （注：这是因为两个正项级数 An 和 Bn 的一般项的极限均为 0 ），且级数的部分和 S（n）满足条件 |a - S（n）|＜ε/2^n ，由极限的定义立刻知道 limS（n）= a ，也就是说新级数 ∑Qn 收敛于 a 。
对于 a = ±∞ 的情形也是可以通过相同的方法得到的，只是条件变成了 |S（n）|＞ ε*2^n (这里 ε 为任意正数)。
到此整个证明过程就完成了！呼，喘口气先……
还可以参考下面的解答过程：
该题目意思是趋于正负无穷都为正无穷，所以考虑【-M，M】区间，M为有界，所以fx必在该区域存在最小值。
答：有难度，细看以下步骤：x>=0， f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 (Taylor公式)（1）若 f ‘(0)>=0, 由f’‘(x)>0,所以，f '(x)> f ‘(0)>0,f(x)严格单增，令f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 =0，由判别式可得：必存在x1=...>0, 使 f(x1)=0,so ...
答：图片中第七题和第八题,高数证明题~ 我来答 1个回答 #OPPO焕新季|春夏特惠# 原厂全新备件,享受官方质保 夜太美473 2014-11-02 · TA获得超过207个赞 知道小有建树答主 回答量:911 采纳率:0% 帮助的人:399万 我也去答题访问个人页 关注 展开全部 更多追问追答 追问 有第七题吗...
答：第一问：连续性用定义去做。对任意ε，取δ=ε/l即可。(注：实际上是一致连续)第二问：构造函数g(x)=f(x)－x。则 g(a)=f(a)－a≥0，g(b)=f(b)－b≤0。然后利用连续函数的介值性。存在ξ，使得f(ξ)=ξ。唯一性，如果存在ξ'≠ξ，使得f(ξ')=ξ'。则|...
答：5）不妨设 a0>0，则有 lim(x→±∞)P(x) = ±∞，根据极限的局部保号性，……，存在 a<0 与 b>0，使 P(a)<0 与 P(b)>0，又 P(x)∈C[a,b]，据零点存在定理，存在 c∈(a,b)，使 P(c)=0 。9）在 [0,a+b] 用零点存在定理，……11）记 g(x) = f(x)-f(x-1)...
答：故取N=[4/ε]+1即可。方法2，用“有界量乘无穷小量还是无穷小量”间接证明：显然，cosn是有界量，然后参照方法1用定义证明lim（n->无穷）(n+2)/(n²-2)=0，即得证。用定义证明极限的关键是“适当的放缩”，放缩的方法不是唯一的。针对本题，是“适当的放大”，方法1采用的只是某一...
答：2^3^n+1能被3^(n+1)整除不成立 n=1 2^3^n+1=9 3^(n+1)=9 除1 n=2 2^3^n+1=65 3^(n+1) = 27 除2.407407 n=3 2^3^n+1=513 3^(n+1) = 81 除6.333333 形式：把相等的式子（或字母表示的数）通过“=”连接起来。等式分为含有未知数的等式和不含未知数的等式。
答：设arcsinx=α，arccosx=β.则sinα=x，cosβ=x.于是，sinα=cosβ，即sinα=sin(π/2-β)，∴α=π/2-β，α+β=π/2.因此，以所设代入得 arcsinx+arcosx=π/2。
答：可以根据导数的连续性证明。f（x）在[0,1]上连续，在（0，1）上可导。f（0）=0，f（1）=2，求证，存在两个不同的值η，μ∈（0，1），使得3/f'(η)+1/f'(μ)=2 根据中值定理，存在ξ∈（0，1），f'(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=2 取f'(η)=f'(μ)=f'(ξ)=2，3/...
答：大学高数求解， 证明过程如图所示。这道高数证明题，由于加绝对值的级数是p级数，是收敛的。所以，原级数是绝对收敛。具体证明见图。
答：证明：设辅助函数f(t)=ln(1+t)，则函数f(t)在(-1,+∞)上可导，对任意x>0，f(t)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，满足拉格朗日定理条件，则至少存在一点ξ∈(0,x)，使f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)成立。而f(0)=0，f'(ξ)=1/(1+ξ)，∴f(x)=x/(1+ξ)。当x>0时，x/...
