如何用有限覆盖定理证明致密性定理（数学分析里的）
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证明方法：
设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在[a,b]内。如果它不存在收敛子序列，于是对[a,b]内的任一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。
因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。
由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。
因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。
有限覆盖定理：
定理:设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]。
开覆盖的定义:设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，(即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间)。
若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S。
若H中的开区间的个数是有限(无限)的，那么就称H为S的一个有限(无限)覆盖。
有限覆盖定理是实数定理。确界定理。单调有界数列必收敛。闭区间套定理。聚点定理。凝聚定理的逆否命题。
如下：
设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在[a,b]内。如果它不存在收敛子序列，于是对[a,b]内的任
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限
个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜。
但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。
设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在[a,b]内。如果它不存在收敛子序列，于是对[a,b]内的任
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限
个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。
S是你那个数列的集。
反证假设S中没有聚点。那么对任意的x属于S,都存在一个ex, s.t. x的ex临域内只有x一个点。于是现在找到了一个无限开覆盖：x的ex临域，对任意x。所以，存在一个有限覆盖。假设其为x1,x2,....xn.
注意：每个覆盖内仅有1个S中的点。这一堆覆盖也才至多有n个，与S是无穷集矛盾。于是证明了。
答：个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜。但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。
答：由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。有限覆盖定理：定理:设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]...
答：证明：我们将使用反证法来证明有限覆盖定理。假设存在一个有界集合X，它不是紧致的，即存在一个开覆盖{G_i}，无法找到有限子集的索引集合I，使得{G_i : i ∈ I}覆盖X。考虑到X是有界的，我们可以选择一个上界M，使得对于X中的每个元素x，都有|x| ≤ M。现在，我们将构建一个序列{x_n}，其...
答：n }必有极限。(4)区间套定理:设{[a n ,b n ]}是一个区间套,则必存在唯 一的实数r ,使得r 包含在所有的区间里,即r ∈I ∞ n =1[a n ,b n ]。(5)有限覆盖定理:实数闭区间[a,b ]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。(6)致密性 (魏尔斯特拉斯)定理:有界数列必有收敛子数列。(7...
答：有限覆盖定理证明聚点定理：对于满足聚点的X，那么对任意r大于0，都存在有限点集(xk)，满足X等于所有B'(xk，r)的并集。聚点定理，也称为维尔斯特拉斯聚点定理，定量内容是：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。该定理的一般形式（又叫致密性定理，波尔查诺维尔斯特拉斯定理）可描述为：有界...
答：先用有限覆盖定理证明聚点定理，再用聚点定理证明致密性定理（即任何有界数列必有收敛子列）。
答：确界原理如何证明致密性让我们来看看确界原理如何帮助我们证明致密性定理。假设有一个有界数列 ，我们首先利用确界原理找到它的上确界 。由于数列有上界，我们可以构造一个子序列 逐渐逼近这个上确界。例如，取满足 的子列，其收敛性由此得证。致密性定理反证确界原理而当我们试图证明确界原理时，致密性定理...
答：证明策略的核心在于运用聚点和致密性定理，通过有限覆盖定理，我们能从局部性质出发，一步步构建有限子覆盖，直至揭示出全局的性质。比如，证明连续函数在闭区间上的有界性，就是通过取有限子覆盖，证明函数在每个子区间内的行为，从而推导出整体的有界性。有限覆盖定理的魅力在于，它以有限的手段揭示了无限的...
答：Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设 是一闭区间...
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