致密性定理内容什么意思
利用魏尔斯特拉斯聚点定理即可证明致密性定理。
考虑有界数列{xn}：
1、若{xn}中有无穷多项相等，则取这些相等的项为子列。
2、若不含无穷多相等项，则{xn}为一有界无限点集，由聚点定理可知，{xn}存在聚点x0。
任取a>0，存在xn1使得|xn1-x0|<a。
继续取a/2,a/2^2...
可得到{xn}的子列{xnk}收敛于x0。
综上致密性定理成立。
扩展资料：
定律定义
先介绍子列的概念：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子列。
根据极限的性质，数列有界是收敛的必要条件，即如果数列收敛，那它一定有界，但反之不一定成立。可是致密性定理却告诉我们，只要一个数列有界，那么它一定会有收敛的子数列。
参考资料来源：百度百科-波尔查诺-维尔斯特拉斯定理
它说明有界数列必有收敛子列，在收敛子列中有一极限为a，则在a的无论半径多小的邻域内都有数列中的项，在a处是致密的
1、实数基本定理：对R 的每一个分划A ｜B ，都ϖ唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
2、确界定理：在实数系R 内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
3、单调有界原理：若数列｛x n ｝单调上升有上界，则｛x n ｝必有极限。
4、区间套定理：设｛［a n ，b n ］｝是一个区间套，则必存在唯一的实数r ，使得r 包含在所有的区间里，即r ∈I ∞n ＝1［a n ，b n ］。
5、有限覆盖定理：实数闭区间［a，b ］的任一覆盖E，必存在有限的子覆盖。
6、致密性（魏尔斯特拉斯）定理：有界数列必有收敛子数列。
7、柯西收敛定理:在实数系中，数列{x n }有极限存在的充分必要条件是:Π >0，ϖN ，当n >N ，m>N 时，有|x n -x m |< 。
扩展资料：
定律定义
致密性定理：有界数列必有收敛子列。
先介绍子列的概念：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子列。
根据极限的性质，数列有界是收敛的必要条件，即如果数列收敛，那它一定有界，但反之不一定成立。可是致密性定理却告诉我们，只要一个数列有界，那么它一定会有收敛的子数列。
由于子列收敛，设收敛到常数A，根据极限的几何意义，在A的ε邻域内总有子列的无数个点。而ε是任意正数，这就意味着在A的任何邻域内都有子列的无数个点。所以从点集的角度来描述该定理，则是：有界点集至少有一个聚点（即聚点定理）。
参考资料来源：百度百科-波尔查诺-维尔斯特拉斯定理
利用魏尔斯特拉斯聚点定理即可。
考虑有界数列{xn}：
1、若{xn}中有无穷多项相等，则取这些相等的项为子列，则结论显然。
2、若不含无穷多相等项，则{xn}为一有界无限点集。由聚点定理可知，{xn}存在聚点x0.
任取a>0，存在xn1使得|xn1-x0|<a
继续取a/2,a/2^2,……
可得到{xn}的子列{xnk}收敛于x0.
综上致密性定理成立
答：个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜。但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。
答：考虑有界数列{xn}：1、若{xn}中有无穷多项相等，则取这些相等的项为子列，则结论显然。2、若不含无穷多相等项，则{xn}为一有界无限点集。由聚点定理可知，{xn}存在聚点x0.任取a>0，存在xn1使得|xn1-x0|
答：界无限点集,故由聚点定理,点集 至少有一个聚点,记为 .于是按定义,存在 的一个收敛的子列以 为极限.作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性证明 充分性 由已知条件: , ,当时,有 .欲证 收敛. 首先证 有界. 取 ,则,有 特别地, 时 设,则, 再由致密性定理知, 有收敛子列 ,设 ...
答：数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。数列极限存在的条件 单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。
答：由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b],当然也覆盖所有﹛xn﹜。但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn,产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列,致密性定理得证。有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b] ...
答：函数f(x)在x0连续，当且仅当f(x)满足以下三个条件：①f(x)在x0及其左右近旁有定义；②f(x)在x0的极限存在；③f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。连续函数性质 1、有界性 所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。证明：利用致密性定理：有界的数列...
答：定理三 连续函数的复合函数是连续的。这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。反证法，假设f(x)在[a,b]上...
答：聚点与致密性 聚点原理表明，有界无穷点集在实数、复数和多维空间中都必有极限点。定理5.1.1至5.3阐述了这一核心原理，证明了有界无穷集合的收敛性。致密性定理，又称为魏尔斯特拉斯-波尔查诺定理，强调了有界序列在实数、复数和多维空间中必有收敛子序列（定理6.1.1至6.1.3）。柯西序列的完美收敛...
答：实数连续性定理包括：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理、柯西收敛准则。数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中...
答：实数完备性的6个定理（有的也称7打定理，加上致密性定理）是相互等价的，没有任何区别，这些定理仅仅是实数的完备性的不同表现形式而已。这点等你学了泛函将体会更深
