如图，在平面直角坐标系中，已知△OAB是等腰三角形（OB为底边），顶点A的坐标是（2，4），点B在x轴上，
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-08-24
如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在X轴上，若以P.O.A为顶点的三角形是等腰三角形，P点几个
（2）假设存在点P使△QOM与△ABD相似，则由已知条件和相似三角形的性质得知$\frac{OM}{BD}=\frac{OQ}{AD}$或$\frac{OM}{AD}=\frac{OQ}{BD}$，继而求得使条件成立的M点坐标可能是：（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12）；不同的坐标对应直线PQ不同的解析式；然后解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组，求得点M的坐标；
（3）以P为圆心、2为半径作圆，过Q作此圆的两条切线，切点分别是E、F，连接PE、PF（图2）；根据切线的性质来证明△PEQ≌△PFQ，S四边形QEPF=2QE，当点P在直线BC上移动时，QE的大小由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，从而使四边形QEPF的面积最小．显然，在所有点Q到直线BC的距离中，当QP⊥BC时QP的长是最小的，所以此时四边形QEPF的面积即为最小面积．解 答（1）∵△AOB是等腰三角形，顶点A的坐标是（2，4），
又∵AD⊥x轴于点D，点C是AD的中点，
∴C（2，2）；（2分）
（2）∵△QOM与△ABD相似，而∠QOM=∠ADB=90°，
∴必有$\frac{OM}{BD}=\frac{OQ}{AD}$或$\frac{OM}{AD}=\frac{OQ}{BD}$，（图1）（1分）
又∵AD=4，BD=2，OQ=6，
∴OM=3或者12，
∴使条件成立的M点坐标可能是：
（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12），（1分）
又∵Q（-6，0），
∴①当M（0，3）时，直线QP的解析式是：$y=\frac{1}{2}x+3$；
②当M（0，-3）时，直线QP的解析式是：$y=-\frac{1}{2}x-3$；
③当M（0，12）时，直线QP的解析式是：y=2x+12；
④当M（0，-12）时，直线QP的解析式是：y=-2x-12；（2分）
∵B（4，0），C（2，2），
∴直线BC的解析式是：y=-x+4；（1分）
分别解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组：
①$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-x+4\end{array}\right.$，②$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-3\\ y=-x+4\end{array}\right.$，③$\left\{\begin{array}{l}y=2x+12\\ y=-x+4\end{array}\right.$，④$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-12\\ y=-x+4\end{array}\right.$
得：①$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{10}{3}\end{array}\right.$，②$\left\{\begin{array}{l}x=14\\ y=-10\end{array}\right.$，③$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{3}\\ y=\frac{20}{3}\end{array}\right.$，④$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-4\end{array}\right.$
使△QOM与△BCD相似的点P的坐标是$（\frac{2}{3}，\frac{10}{3}）$，（14，-10），$（-\frac{8}{3}，\frac{20}{3}）$或者（-16，20）．（2分）
说明：以上解题过程中，每少一种情况扣（1分），格式不对或解题不完整酌情扣分．
（3）以P为圆心、2为半径作圆，过Q作此圆的两条切线，切点分别是E、F，连接PE、PF（图2）．
则PE=PF=$\sqrt{2}$，PQ=PQ，∠PEQ=∠PFQ=90°，
∴△PEQ≌△PFQ；（1分）
∴${S_{四边形QEPF}}=2×{S_{△QEP}}=2×\frac{1}{2}×PE×QE=2QE$．（1分）
∵QE2=PQ2-PE2=PQ2-2，
当点P在直线BC上移动时，QE的大小由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，从而使四边形QEPF的面积最小．显然，在所有点Q到直线BC的距离中，当QP⊥BC时QP的长是最小的，
∴此时四边形QEPF的面积即为最小面积．
（1分）
当QP⊥BC于P时，∠QPB=∠BDC=90°，∠PBQ=∠DBC，
故△PBQ∽△DBC，
∴$\frac{PQ}{BD}=\frac{BQ}{BC}$，而CD=2，BD=2，
∴BC=$2\sqrt{2}$，
∴$\frac{PQ}{2}=\frac{10}{{2\sqrt{2}}}$∴PQ=$5\sqrt{2}$，（1分）
∴$QE=\sqrt{P{Q^2}-2}=\sqrt{50-2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴四边形QEPF的最小面积=$2QE=8\sqrt{3}$．（1分）
说明：解法不同参考给分，格式不对或解题不完整酌情扣分． 悦考网上有，看不懂的话追问，望采纳
如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4...
答：解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F由已知得BF=OE=2，OF= ∴点B的坐标是（ ，2）设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 解得 ∴直线AB的解析式是y= x+4。（2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=6...
如图,在平面直角坐标系中,已知点O的坐标为,
答：解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．故答案是：90；（2）如图3，∠AOM-∠NOC=30°．设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．∵∠AOC+∠BOC=180°，∴α+2α=180°．解得 α=60°．即∠AOC=60°．∴∠AON+∠NOC=60°．①∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°．...
如图所示,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0...
答：∴AH=OH,点O的坐标为（0,2）在直角△BHO中，利用勾股定律计算得BH=2根号3 所以B（2根号3,2）在设直线AB为y=kx+b a,b两点代人计算出k,b
在平面直角坐标系中,已知o是原点,四边形ABCD是长方形,A,B,C的坐标分 ...
答：AD=1/2×5×1-1/2×2×|-3+x|+1/2×2×5=15/2-|-3+x|S□ABCD=AD×AB=2×5=10∵S△OBD=S□ABCD∴15/2-|-3+x|=10∴|-3+x|=-5/2，方程无解②当x＞3时，如图 S△OBD=S△OAD+S△OBA+S△ABD=1/2AD•AE+1/2AB•AF+1/2AB•AD=1/2×5×1...
在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0)、B(0,4),以点A为旋转...
答：解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= OA2+OB2=5，根据题意，有DA=OA=3．如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB，∴△ADM∽△ABO．有 ADAB=AMAO=DMBO，得 AM=ADAB•AO=35×3=95，∴OM= 65，∴ MD=125，∴点D...
如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2...
答：分析：（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A 1 B 1 C 1 。（2）由位似三角形的性质，即可画出△A 2 B 2 C 2 。解：（1）如图：△A 1 B 1 C 1 即为所求。（2）如图：△A 2 B 2 C 2 即为所求。
已知,如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C...
答：（1）（21，6）；（2） （ ）；（3）（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）. 试题分析：（1）由A（21，0），C（0，6），根据矩形的性质即可得点B的坐标；（2）由AD=2t得OD= ，从而由三角形面积公式即可得，根据点D点P同时运动，当其中一个动点到达线段另一个端点时，另...
在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A...
答：a+b＝39a?3b＝1，解得a＝56；b＝136．（6分）故所求抛物线的解析式为：y＝56x2+136x．（8分）（3）设直线AB的方程为y=kx+b1，那么有：?3k+b1＝1k+b1＝3，解得k＝12，b1＝52．故直线AB的方程为：y＝12x+52．∴OE＝52．（9分）抛物线y＝56x2+136x的对称轴l的方程是：x＝?
如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12...
答：∵△PON是等边三角形，∴∠PON=60度．∴∠AOP=60度．∴AO=2AP，即4 =2 t，解得t=2．∴当t=2时，点M与点O重合．（2）如图②，过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S，可求得AQ= AP= ，PS=QO=4 - ．∴点P坐标为（ ，4 - ）．在Rt△PMS中，sin60°= ，∴PM=（4 - ）÷ =...
在平面直角坐标系xOy中,如图,已知Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D在y轴...
答：解答：解：（1）△OMN如图所示；（2）△A′B′C′如图所示；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，所以，B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，∵A′C′=AC=5，∴A′F=52?32=4，∴A′B′=x+4，A′O=5+3=...
有4个点 方法如下
△POA为等腰△ 没有指定那条边是腰和底的情况下 分3种情况
若O为顶点 即OA=OP 以O为圆心 OA长为半径 作圆 发现与X轴交2点
若A为顶点 即AO=AP 以A为圆心，OA长为半径作圆，发现与X轴交点有2个 一个是O点另一个在X轴正半轴，由于要△存在 所以与O重合的时候 排除 只找到一个点
若P为顶点 即PO=PA 说明P点在OA的垂直平分线上 只要作OA的垂直平分线即可 此时与X轴交一点
所以一共有4个点
要学习方法
本题若改成在Y轴上 也是同样的方法 还是存在 4个点
若改成在坐标轴上 也是同样的方法 就一共有8个点
∵tan∠AOB=BC/OA=√3/3，∴∠AOB=30°，
作C关于OB的对称点D，过D作DE⊥X轴于E，连接CD，
则∠COD=2∠AOB=60°，OD=OC，
∴ΔOCD是等边三角形，
∴OE=1/2OC=1/4，DE=√3OE=√3/4，
∴D(1/4，√3/4)，
设直线AD解析式：Y=KX+b，得方程组：
0=3K+b
√3/4=1/4K+b
解得：K=-√3/11，b=3√3/11，
∴Y=-√3/11X+3√3/11，
∵P在OB上，令X=√3Y，(易得OB解析式Y=√3/3X)
Y=-3/11Y+3√3/11，
解得：X=9/14，Y=3√3/14，
∴P(9/14，3√3/14)时，PA+PC最小。
（2）假设存在点P使△QOM与△ABD相似，则由已知条件和相似三角形的性质得知$\frac{OM}{BD}=\frac{OQ}{AD}$或$\frac{OM}{AD}=\frac{OQ}{BD}$，继而求得使条件成立的M点坐标可能是：（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12）；不同的坐标对应直线PQ不同的解析式；然后解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组，求得点M的坐标；
（3）以P为圆心、2为半径作圆，过Q作此圆的两条切线，切点分别是E、F，连接PE、PF（图2）；根据切线的性质来证明△PEQ≌△PFQ，S四边形QEPF=2QE，当点P在直线BC上移动时，QE的大小由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，从而使四边形QEPF的面积最小．显然，在所有点Q到直线BC的距离中，当QP⊥BC时QP的长是最小的，所以此时四边形QEPF的面积即为最小面积．解 答（1）∵△AOB是等腰三角形，顶点A的坐标是（2，4），
又∵AD⊥x轴于点D，点C是AD的中点，
∴C（2，2）；（2分）
（2）∵△QOM与△ABD相似，而∠QOM=∠ADB=90°，
∴必有$\frac{OM}{BD}=\frac{OQ}{AD}$或$\frac{OM}{AD}=\frac{OQ}{BD}$，（图1）（1分）
又∵AD=4，BD=2，OQ=6，
∴OM=3或者12，
∴使条件成立的M点坐标可能是：
（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12），（1分）
又∵Q（-6，0），
∴①当M（0，3）时，直线QP的解析式是：$y=\frac{1}{2}x+3$；
②当M（0，-3）时，直线QP的解析式是：$y=-\frac{1}{2}x-3$；
③当M（0，12）时，直线QP的解析式是：y=2x+12；
④当M（0，-12）时，直线QP的解析式是：y=-2x-12；（2分）
∵B（4，0），C（2，2），
∴直线BC的解析式是：y=-x+4；（1分）
分别解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组：
①$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-x+4\end{array}\right.$，②$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-3\\ y=-x+4\end{array}\right.$，③$\left\{\begin{array}{l}y=2x+12\\ y=-x+4\end{array}\right.$，④$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-12\\ y=-x+4\end{array}\right.$
得：①$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{10}{3}\end{array}\right.$，②$\left\{\begin{array}{l}x=14\\ y=-10\end{array}\right.$，③$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{3}\\ y=\frac{20}{3}\end{array}\right.$，④$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-4\end{array}\right.$
使△QOM与△BCD相似的点P的坐标是$（\frac{2}{3}，\frac{10}{3}）$，（14，-10），$（-\frac{8}{3}，\frac{20}{3}）$或者（-16，20）．（2分）
说明：以上解题过程中，每少一种情况扣（1分），格式不对或解题不完整酌情扣分．
（3）以P为圆心、2为半径作圆，过Q作此圆的两条切线，切点分别是E、F，连接PE、PF（图2）．
则PE=PF=$\sqrt{2}$，PQ=PQ，∠PEQ=∠PFQ=90°，
∴△PEQ≌△PFQ；（1分）
∴${S_{四边形QEPF}}=2×{S_{△QEP}}=2×\frac{1}{2}×PE×QE=2QE$．（1分）
∵QE2=PQ2-PE2=PQ2-2，
当点P在直线BC上移动时，QE的大小由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，从而使四边形QEPF的面积最小．显然，在所有点Q到直线BC的距离中，当QP⊥BC时QP的长是最小的，
∴此时四边形QEPF的面积即为最小面积．
（1分）
当QP⊥BC于P时，∠QPB=∠BDC=90°，∠PBQ=∠DBC，
故△PBQ∽△DBC，
∴$\frac{PQ}{BD}=\frac{BQ}{BC}$，而CD=2，BD=2，
∴BC=$2\sqrt{2}$，
∴$\frac{PQ}{2}=\frac{10}{{2\sqrt{2}}}$∴PQ=$5\sqrt{2}$，（1分）
∴$QE=\sqrt{P{Q^2}-2}=\sqrt{50-2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴四边形QEPF的最小面积=$2QE=8\sqrt{3}$．（1分）
说明：解法不同参考给分，格式不对或解题不完整酌情扣分． 悦考网上有，看不懂的话追问，望采纳
望采纳~
答：解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F由已知得BF=OE=2，OF= ∴点B的坐标是（ ，2）设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 解得 ∴直线AB的解析式是y= x+4。（2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=6...
答：解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．故答案是：90；（2）如图3，∠AOM-∠NOC=30°．设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．∵∠AOC+∠BOC=180°，∴α+2α=180°．解得 α=60°．即∠AOC=60°．∴∠AON+∠NOC=60°．①∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°．...
答：∴AH=OH,点O的坐标为（0,2）在直角△BHO中，利用勾股定律计算得BH=2根号3 所以B（2根号3,2）在设直线AB为y=kx+b a,b两点代人计算出k,b
答：AD=1/2×5×1-1/2×2×|-3+x|+1/2×2×5=15/2-|-3+x|S□ABCD=AD×AB=2×5=10∵S△OBD=S□ABCD∴15/2-|-3+x|=10∴|-3+x|=-5/2，方程无解②当x＞3时，如图 S△OBD=S△OAD+S△OBA+S△ABD=1/2AD•AE+1/2AB•AF+1/2AB•AD=1/2×5×1...
答：解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= OA2+OB2=5，根据题意，有DA=OA=3．如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB，∴△ADM∽△ABO．有 ADAB=AMAO=DMBO，得 AM=ADAB•AO=35×3=95，∴OM= 65，∴ MD=125，∴点D...
答：分析：（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A 1 B 1 C 1 。（2）由位似三角形的性质，即可画出△A 2 B 2 C 2 。解：（1）如图：△A 1 B 1 C 1 即为所求。（2）如图：△A 2 B 2 C 2 即为所求。
答：（1）（21，6）；（2） （ ）；（3）（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）. 试题分析：（1）由A（21，0），C（0，6），根据矩形的性质即可得点B的坐标；（2）由AD=2t得OD= ，从而由三角形面积公式即可得，根据点D点P同时运动，当其中一个动点到达线段另一个端点时，另...
答：a+b＝39a?3b＝1，解得a＝56；b＝136．（6分）故所求抛物线的解析式为：y＝56x2+136x．（8分）（3）设直线AB的方程为y=kx+b1，那么有：?3k+b1＝1k+b1＝3，解得k＝12，b1＝52．故直线AB的方程为：y＝12x+52．∴OE＝52．（9分）抛物线y＝56x2+136x的对称轴l的方程是：x＝?
答：∵△PON是等边三角形，∴∠PON=60度．∴∠AOP=60度．∴AO=2AP，即4 =2 t，解得t=2．∴当t=2时，点M与点O重合．（2）如图②，过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S，可求得AQ= AP= ，PS=QO=4 - ．∴点P坐标为（ ，4 - ）．在Rt△PMS中，sin60°= ，∴PM=（4 - ）÷ =...
答：解答：解：（1）△OMN如图所示；（2）△A′B′C′如图所示；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，所以，B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，∵A′C′=AC=5，∴A′F=52?32=4，∴A′B′=x+4，A′O=5+3=...
