如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8，（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后

解答：解：（1）如图①，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，又∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4．在Rt△EFG和Rt△EBG中EG＝EGEF＝EB∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO?AG，即36+16=6×AG，AG=263，可得：CG=103，BG=83．∴G的坐标为（8，83）；（2）设运动的时间为t秒，当点C为圆心时，则CQ=CP，即：2t=10-4t，得到t=53，此时CP=2×53＝103，AP=8?103＝143，P点坐标为(143，6)． 当点P为圆心时，则PC=PQ，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CEQ∽△CAO，∴EQ=35CQ=35(10?4t)＝6?125t，PE=45(10?4t)?2t＝8?265t，则(6?125t)2+(8?265t)2＝(2t)2，化简得：36t2-140t+125=0，解得：t1＝2518，t2＝52（舍去），此时，AP=8?2518×2＝479，P点坐标为(479，6)，当点Q为圆心时，则QC=PQ，如备用图，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CFQ∽△CAO，∴QF=35(10?4t)＝6?125t，PF=2t?45(10?4t)＝265t?8．则 (6?125t)2+(265t?8)2＝(10?4t)2，整理得215t2?8t＝0，解得：t1＝4021，t2＝0（舍去）．此时，AP=8?4021×2＝8821，P点坐标为(8821，6)，综上所述，P点坐标为(143，6)，(479，6)，(8821，6)．

解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形。在OA上取点G，使AG = BE； （2）假设存在点E，使EF=AE，设E（a，0），作FH⊥x轴于H，如图，由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF， ∴ FH=OE，EH=OA，∴ 点F的纵坐标为a，即FH=a，由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，∴BH=FH=a，又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB-OE=m-a，∴EH=m-a+a=m， 又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾，因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立。 （3））如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH-OE=h+m-a，由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得 △AOE∽△EHF， ∴EF=（t + 1）AE等价于FH=（t + 1）OE，即h=（t + 1）a，且 ，即 ，整理得nh=ah+am-a 2 ，∴ ，把h=（t + 1）a 代入得 ，即 m-a=（t + 1）（n-a），而m=tn，因此tn-a=（t + 1）（n-a），化简得ta=n，解得 ，∵ t＞1，∴ <n<m，故E在OB边上，∴当E在OB边上且离原点距离为 处时满足条件，此时E（ ，0）。