实数与复数的区别和联系？
实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：
例1 若不等式 成立，求实数 .
错解：
因为两个不全为实数的复数不能比较大小，所以性质 在复数集中不一定成立，上述解法是错误的。
正确的解法应该是直接由条件得出不等式组
例2 设关于x的方程
错解：设两根为
以 ，从而得
与题意不符。
其错因在于复数集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正确的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴两实根同号，又2(m －)＜0，
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
综上（1）、（2）得
例3 已知方程 的两个虚数根为α,β,且|α－β|＝2 ，求实数k.
错解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虚根，不符题意，显然错误。错因何在？显然错在等式 不全为实数时，不一定成立。事实上，令 显然 更何况，教科书中对 无定义呢。
本题正确的解法是：
解一：∵ ∴设 ∴
∴
解二：∵ ∴
例4 已知
错解：由
∴
检验：由
∴
从而得
错因何在？显然是在a,b不全为实数时，等式a2＋b2＝0并不一定等于a＝b＝0.
事实上，分设
然而 ，进一步证明 是错误的。
例5 求 的值。
错解：
错因何在？显然在于实数集上的指数运算法则： 不一定适用于复数集，即 ，且在复数集中 ；
事实上，
例6 已知 中至少有一个为0.
错证：设 都非0，则 与题设矛盾，因此 中至少有一个为0.
上述证法运用了反证法去证明等价命题，貌似正确，实则在逻辑上有问题，因为 这一性质并没有被证明可以推广到复数集中去。
正确的证法是利用模去证：
，从而必有
为0.
或用共轭复数证法： 即
根据教科书及上述各例，归纳出复数与实数的主要区别如下：
1、两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 则上式不一定成立，如例3；
5、实系数方程 △＝ 时无实根，但在复数集中 ；
6、 在实数集中a的n次方根的情况是：
（1）n为奇数，有一个实根 ，
（2）n为偶数，（i）a＞0时有两个实数 , (ii) a＜0时无实根，但在复数集中有且仅有n个n次方根，因此，在实数集中 不能分解成一次因式之积，而在复数集中 ；
7、实数集中成立的一些运算法则及命题未经论证不能擅自用于复数集，如例5和例6。
实数和虚数统称为复数，复数包括实数
定义-1的平方根为i，所有a+bi形式的数是复数，b=0时才是实数，a=0时叫纯虚数
例1 若不等式 成立，求实数 .
错解：
因为两个不全为实数的复数不能比较大小，所以性质 在复数集中不一定成立，上述解法是错误的。
正确的解法应该是直接由条件得出不等式组
例2 设关于x的方程
错解：设两根为
以 ，从而得
与题意不符。
其错因在于复数集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正确的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴两实根同号，又2(m －)＜0，
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
综上（1）、（2）得
例3 已知方程 的两个虚数根为α,β,且|α－β|＝2 ，求实数k.
错解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虚根，不符题意，显然错误。错因何在？显然错在等式 不全为实数时，不一定成立。事实上，令 显然 更何况，教科书中对 无定义呢。
本题正确的解法是：
解一：∵ ∴设 ∴
∴
解二：∵ ∴
例4 已知
错解：由
∴
检验：由
∴
从而得
错因何在？显然是在a,b不全为实数时，等式a2＋b2＝0并不一定等于a＝b＝0.
事实上，分设
然而 ，进一步证明 是错误的。
例5 求 的值。
错解：
错因何在？显然在于实数集上的指数运算法则： 不一定适用于复数集，即 ，且在复数集中 ；
事实上，
例6 已知 中至少有一个为0.
错证：设 都非0，则 与题设矛盾，因此 中至少有一个为0.
上述证法运用了反证法去证明等价命题，貌似正确，实则在逻辑上有问题，因为 这一性质并没有被证明可以推广到复数集中去。
正确的证法是利用模去证：
，从而必有
为0.
或用共轭复数证法： 即
根据教科书及上述各例，归纳出复数与实数的主要区别如下：
1、两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 则上式不一定成立，如例3；
5、实系数方程 △＝ 时无实根，但在复数集中 ；
6、 在实数集中a的n次方根的情况是：
（1）n为奇数，有一个实根 ，
（2）n为偶数，（i）a＞0时有两个实数 , (ii) a＜0时无实根，但在复数集中有且仅有n个n次方根，因此，在实数集中 不能分解成一次因式之积，而在复数集中 ；
7、实数集中成立的一些运算法则及命题未经论证不能擅自用于复数集，如例5和例6。
书本上没有吗？
答：实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：例1 若不等式 成...
答：1. 实数是由有理数和无理数组成的，它们在实数轴上有所表示，是复数的实部部分。2. 虚数是复数的一个组成部分，用虚数单位 i 表示，它不是实数。3. 纯虚数是虚数的一个子集，其特点是其实部为零，只有虚部不为零。4. 复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b...
答：实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：例1 若不等式 成...
答：实数虚数纯虚数复数的区别和联系如下：区别：实数是有理数和无理数的总称，可以用实数轴上的点来表示。虚数是复数中除了实数的部分，用i表示。纯虚数是虚数中的一种特殊情况，它的实部为0。复数是所有复数构成的集合，可以用形式a+bi表示，其中a是实部，b是虚部。并且实数具有加、减、乘、除等运算性...
答：最后，实数和复数在物理、工程和经济等领域的应用也有所不同。实数主要用于描述现实世界中的物体的位置、速度、力等物理量，而复数则广泛应用于电路分析、信号处理、控制理论等工程领域。此外，复数还在经济学中用于描述经济模型中的投资回报率、风险收益比等指标。综上所述，复数和实数是数学中两种不同的...
答：1、定义不同 （1）数域：设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。常见数域： 复数域C、实数域R、有理数域Q。（2）实数域是实数所在的有理集合，具有连续性、完备性、有序性等性质。（3）复数域是复数...
答：通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。实际意义：虚数我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P （a，bi），将坐标乘上i即点绕...
答：2、实数 实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。3、有理数 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和...
答：复数包括实数和虚数，虚数包括纯虚数和非纯虚数；实数包括有理数和无理数。整数和分数统称为有理数：整数又分为正整数、负整数和0；分数又分为正分数、负分数。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数。关系结构图如下：结构图的绘制 设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是...
答：虚数和实数有着同等地位，二者合在一起成为复数。一个复数由实部和虚部组成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意实数。如果一个复数只有虚数部分，则称这个复数是纯虚数。很多时候复数和虚数会互相混用，有很多资料把z=a+bi (a≠0)叫做虚数。如果较真一点，a+bi是复数，a是复数的实部，b是复数的虚部，...
