高一数学函数的求值域定义域各种解题方法
1.观察法
用于简单的解析式。
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, +∞)
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞)
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量(新量)的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(-∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法。
y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),+∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为
[f(b), f(a)]. 8 要求值域就要先求定义域如果是抛物线,还要看看顶点是否在定义域内
求定义域的方法有两种,一种是抽象函数求定义域,处理的原则是相同的函数法则下,自变量x的取值范围相同,一定要注意定义域,而另外一种是已知函数解析式求定义域,必须保证解析式有意义。求函数的值域就是求函数因变量y的取值范围,我很多种方法,如配方法,图像法,单调性法,求导发,
1.确定函数定义域的主要依据:(1)当f(x)是整式时,定义域为R;�(2)当f(x)是分式时,定义域是使分母不等于0的x取值的集合;�(3)当f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合;(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围;�(5)当f(x)是对数式时,定义域是使真数大于0的x取值的集合;�(6)正切函数的定义域是{ };余切函数的定义域是{x|x≠kπ,k∈Z};�(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.��●题型示例 点津归纳【例1】 求下列函数的定义域:(1)y= ;(2)y= ;�(3)y= ;�(4)y=log2004(tanx).【解前点津】 使整个解析式有意义的x取值集合即为所求.【规范解答】 (1)由 .(2)令1-2sinx≥0,则sinx≤ 利用单位圆可求得定义域为[2kπ- π,2kπ+ ],k∈Z.(3)由 知x是第一象限角或角x的终边在x轴正向或y轴正向上,故其定义域为[2kπ,2kπ+ ],k∈Z.(4)由tanx>0知x是一、三象限角,故为:(kπ+ ,kπ+π),k∈Z.�【解后归纳】 求函数定义域常常要解不等式(或不等式组),理解并掌握集合的“交”“并”运算是一项基本功.含三角式的不等式求解,要么利用单位圆,要么利用函数的图像及周期性.【例2】 当a取何实数时,函数y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1,2)?【解前点津】 可转化为:确定a值,使关于x的不等式-x2+ax+2>0的解集为(-1,2).【规范解答】 -x2+ax+2>0 x2-ax-2<0,故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.【解后归纳】 解一元二次不等式,常联系一元二次方程的根或二次函数的图像.【例3】 已知函数f(2x)的定义域是[-1,2],求f(log2x)的定义域.【解前点津】 在同一法则f下,表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.【规范解答】 ∵-1≤x≤2,∴ ≤2x≤4故 ≤log2x≤4即log2 ≤log2x≤log216 ≤x≤16.【解后归纳】 已知F(g(x))的定义域为A,求F(h(x))的定义域,关键是求出既满足g(x)∈B,又满足h(x)∈B的x取值集合,在此例中,A=[-1,2],B=[ ,4].答:⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等式公式来求值域;⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 高一数学,主要是二次函数,幂函数,...
答:整式函数:1次直接代,2次求顶点,3次以上求导 分式函数:利用不等式(如均值不等式,x+1/x >= 2√x*√1/x =2)或求导 三角函数:每种函数都有自己的特点,各不相同 (正余弦函数为[-1,1],正余切函数为R)指对数函数:结合它们的单调性,分a>0和0<a<1两种情况 (在全体定义域上值域:...
答:一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,...
答:所以要解f(1/x+2)的定义域,解不等式-1≤1/x+2<4即可。解得x∈(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞)。即f(1/x+2)的定义域为(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞)。定义域简介:定义域(domain of definition)指自变量x的取值范围,是函数三要素(定义域、值域、对应法则)之一,对应法则的作用对象。求...
答:点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配...
答:2 对函数的定义域不连续的函数,分别求取各段定义域内的函数最大值和最小值,之后对所求取的各段定义域上的函数的值域进行求并运算即可 3 对特殊的函数,如二次函数等能画出图像的函数,需要通过函数图像判断定义域内的最大最小值取点,之后利用图像可快速求得其值域 ...
答:6、基本不等式:对于一些含有根式的函数,我们可以使用基本不等式来求值域。例如,对于函数f(x)=sqrt(x),我们可以使用基本不等式来得到其值域为非负实数。高一数学求值域的注意事项:1、定义域优先原则:在求解值域时,首先需要考虑函数的定义域。只有定义域确定了,函数值才有了存在的范围。如果函数...
答:(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数...
答:(1)直接法——从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围.(2)配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(X)=af²(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原...
答:最佳答案 y=cotx=cosx/sinx 所以,定义域就是:sinx不等于0,就是:x不等于(k派),k属于整数。值域:因为:cotx=1/tanx,tanx值域是R,所以,cotx值域也是R。单调性:y'=-1/sin^2x,小于0,所以在他的每个周期上都是减函数。单调区间就是每个周期区间。奇偶性:y(-x)=cos(-x)/sin(-x)=...