高中数学里函数的值域有哪些求法?
一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
二.反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
三.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
四.判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
五.最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
六.图象法
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。
七.单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
八.换元法
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。
例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。
九.构造法
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。
例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。
例10已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
十一.利用多项式的除法
例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
十二.不等式法
例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
你说的太多了。一个一个讲估计你也懒得看。我给你教个万能的。
所谓函数的值域,就是这个函数的y值没有的地方。
那么我可以设个方程y=k
我们可以很清楚的知道,这个方程是一条平行于x轴直线,然后我们可以把这个方程和题目给你的方程联立一个方程组。
然后求当无解时(或解在题目给的x范围外时)k的取值范围。这个k的取值范围就是当k在这个范围内时这个方程无解,也就是题目给你的函数的y值没有的地方。
只是给个思路,纯属原创,如果出错,望海涵。
1.直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R;
反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0};
二次函数 的定义域为R,
当a>0时,值域为{ };当a<0时,值域为{ }.
例1.求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3,
∴-1 3x+2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5]
②∵ ∴
即函数 的值域是 { y| y 2}
③
④当x>0,∴ = ,
当x<0时, =-
∴值域是 [2,+ ).(此法也称为配方法)
函数 的图像为:
2.二次函数比区间上的值域(最值):
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:
① ;
解:∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y -3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4],
当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,
∴在[0,1]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6,
∴在[0,1]上, =-3, =6;值域为[-3,6].
注:对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时,
①当a>0时,则当 时,其最小值 ;
②当a<0时,则当 时,其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的最大(小)值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3.判别式法(△法):
判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3.求函数 的值域
方法一:去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
检验 时 (代入①求根)
∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
综上所述,函数 的值域为 { y| y11且 y1 }
方法二:把已知函数化为函数 (x12)
∵ x=2时 即
说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4.换元法
例4.求函数 的值域
解:设 则 t 0 x=1-
代入得
5.分段函数
例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y 3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+ ]. 如图
两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.
说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.
函数解析式的求法:1,配方法 2,换元法 3,解方程组法
值域的求法:1,配方法 2,换元法 3,基本不等式 4,反函数法(分式函数)5,单调性法
6,导数法 7,数形结合 8,向量法 9,判别式法 10,构造法
答:1:直接法:从自变量的范围出发,推出值域,也就是直接看咯。这个不用例题了吧?2:分离常数法 3:配方法(或者说是最值法)求出最大值还有最小值,4:判别式法,运用方程思想,根据二次方程有实根求值域 5 换元法 6:图像法,直接画图看值域 7 求反函数的定义域法 ...
答:函数值域求法十一种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面...
答:值域问题是高中函数的一个精华问题。有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题,值域反求定义与问题(即反函数求定义域)……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。首先要着重说的是:求值域,必先看定义域。所有函数都是如此。1.单调性法 利用函数的单调性。当一个函数单调性很...
答:求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方法和模式,常用的方法有:(1)直接法——从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围.(2)配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(X)=af²(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.(3)反函数法——利用...
答:方法一:利用单调性;方法二:利用三角函数的有界性;方法三:数形结合,利用所求式子的几何意义;方法四:把所求式子转化为一元二次函数,根据delta大于或等于0来求解;方法五:参变分离,之后利用单调性;方法六:利用基本不等式。其中,方法一和方法六是考试中应用最多的。
答:个人认为具体要看函数的表达式是什么样子的 主要的分类有如下几种:分式函数:分离常数法,分离之后是一个常数和类似反比例函数的和,当然也有利用对勾函数性质的;根式函数:又细分为含有一个根号的函数,直接求出根号里面函数的值域在开方即可,含有一个根号+整式的函数,这类题目利用换元法;含有两个...
答:高中数学定义域与值域的求法如下:1、定义域表示的是自变量的取值范围,值域表示的是应变量的取值范围。如:函数y=x+4x的定义域为R,值域为(负无穷大,正无穷大)。三类函数的值域定义域的求解技巧:一次函数。定义域为R,值域为R。2、当一次项的系数为正时,函数单调递增,在给定区间上按照单调性...
答:回答:其没有固定的方法和模式。但常用方法有: (1)直接法:从变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围; (2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(x)=af^(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法 (3)反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过反...
答:高中函数值域的12种求法!!!一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。∴函数的值域为[3,...
答:故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。练习:求函数y=(10∧x+10∧-x)/(10∧x-10∧-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})