如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-26
（2011?海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△AD
∵菱形ABCD
∴∠A=∠ADB=∠BDC=∠DBQ=60°(对角线把菱形分为两个等边三角形)
∴AD=BD
∵∠ADP+∠BDP=60° ∠BDQ+∠BDP=60°
∴∠ADP=∠BDQ
再证明△ADP全等于△BDQ
｛∠A=∠DBQ，AD=BD，∠ADP=∠BDQ
∴PD=QD
又∵∠PDQ=60°
∴△DPQ为等边三角形（正三角形）
（2）
解：（根据等边三角形面积公式：若一边为a，那么高为2分根号3a）
由题意得：DP为x
∴S△DPQ=4分之根号3 · x^2
∵P在AB上，若到D距离最短，肯定垂直于AB （PD⊥AB）
∴三线合一（等边三角形ABD中）
∴AP=二分之一AB=2
∵PD⊥AB
∴AP^2+PD^2=AD^2
PD=2根号3
∴S△DPQ 最小为二分之根号432.
解：（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD为等边三角形
∴∠DBC =60°，AD=BD
∴∠DBC =∠A
∵AP=BQ
∴△BDQ≌△ADP
（2）过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E（如图）
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD=3
∵AP=2
∴BP=1，BQ=AP=2
∠CBE=180°－120°=60°
∴BE=1，QE=根号3
∴PE=2，PQ=根号下（2�0�5+（根号3）�0�5=根号7
∴cos∠BPQ=PE/PQ=2/根号7=2·根号7/7
如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB,AD的中点,DE、BF相交于点G...
答：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG= 1 2 CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG= 1 2 CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，...
如图所示,在菱形abcd中,角a等于60度,ab等于1,点e在ab上
答：在BC上找中点F,连接DF,直线最短.即:PE+PD=DF=3的平方根/2 ,证明:连接PE,PF,AC为角DCF的角平分线,角DCA=ACB=30度 CE=CF,CP=CP,相似三角形原理,三角形DCP=三角形BCP PE=PF 即：PE+PD=DF
如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在点A′、D...
答：答：∠A′EB+∠BGD′=120°，证明：∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠D=120°，∠ABC=120°，由折叠的性质可知∠EA′D′=60°，∠A′D′G=120°，∴∠A′EB+∠BGD′=180°×3-（360°-120°）-（120°+60°）=120°．
在菱形ABCD中,∠A=60°,则AC:BD=__
答：解：如图，∵∠A=60°，∴∠BAO=12∠A=12×60°=30°，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴AO：BO=cot30°=3，∵AC=2AO，BD=2BO，∴AC：BD=3．故答案为：3．
(2014?将乐县质检)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是AB,AD的中点...
答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD．∵∠A=60°，∴∠BCD=60°，△ABD是等边三角形，∴△BDC是等边三角形．∠ADB=∠ABD=60°，∴∠CDB=∠CBD=60°．∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD=∠DEB=90°，∴∠GDB=∠GBD=30°，∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，∴∠BGD=360°-...
如图:在菱形ABCD中,∠A=60°,M、N分别是BC和CD的中点,O是BD上的一个...
答：取AD的中点N′，连接MN′交BD于O，连接NN′，∵菱形ABCD关于直线BD是轴对称图形∴N、N′关于直线BD是对称，∴ON=ON′，∴OM+ON=OM+ON′=MN′∵在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=5.2cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∵N′为AD中点，M为AB中点...
如图,菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在边AB,AD上,AE=DF,BF与DE相交于...
答：(1)连接BD ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD ∵∠A=60°,∴BD=AD,∠ADB=60° ∵AE=DF,∴△ADE≌△DBF ∴∠AED=∠DFB ∴AEPF四点共圆.∴∠DFP=60° (2)延长PB至Q,使BQ=DP,连接CQ ∵∠DFP=∠BCD=60°,∴BCDP四点共圆 ∴∠CDP=∠CBQ ∵CD=CB,DP=BQ,∴△CDP≌△CBQ ∴CP=CQ ∵∠...
如图,菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AD、DC边上的点,∠EBF=60°,是...
答：连接DB ∵在菱形ABCD中，∠A=60°，∴DB=AD=AB=BC=DC，∵AE=DF，∴DE=CF，∵∠A=60°，DB是对角线，∴∠ADB=60°，∴∠ADB=∠C=60°，∴△DBE≌△BCF，∴EB=FB．∠DBE=∠CBF，∵∠CBF+∠DBF=60°，∴∠DBE+∠DBF=60°，∴△EBF是等边三角形 ...
如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在点A′、D...
答：A 首先延长DC与A′D′，交于点M，由四边形ABCD是菱形、折叠的性质，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后设CF=x，D′F=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答案．解：延长DC与A′D′，交于点M， ∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB...
如图,菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AD、DC边上的点,∠EBF=60°,是...
答：△BEF是等边三角形 证明：连接BD ∵AB=AD，∠A=60° ∴△ABD是等边三角形 ∴∠ABE=60°，AB=BD ∵∠EBF=60° ∴∠ABE=∠FBD ∵∠BDF=∠A=60° ∴△ABE≌△DBF ∴BE=BF ∵∠EBF=60° ∴△EBF是等边三角形
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD∥BC，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，∵AP=BQ，∴△BDQ≌△ADP（SAS）；（2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵△BDQ≌△ADP，∴BQ=AP=2，∵AD∥BC，∴∠QBE=60°，∴QE=QB?sin60°=2× = ，BE=QB?cos60°=2× =1，∵AB=AD=3，∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1，∴PE=PB+BE=2，∴在Rt△PQE中，PQ= = ，∴cos∠BPQ= = = ． 略
解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD∥BC， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°， ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°， ∵AP=BQ， ∴△BDQ≌△ADP（SAS）； （2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵△BDQ≌△ADP， ∴BQ=AP=2， ∵AD∥BC， ∴∠QBE=60°， ∴QE=QB·sin60°= ，BE=QB·cos60°=2× =1， ∵AB=AD=3， ∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1， ∴PE=PB+BE=2， ∴在Rt△PQE中，PQ= ， ∴cos∠BPQ= 。
(1)解：连接BD∵菱形ABCD
∴∠A=∠ADB=∠BDC=∠DBQ=60°(对角线把菱形分为两个等边三角形)
∴AD=BD
∵∠ADP+∠BDP=60° ∠BDQ+∠BDP=60°
∴∠ADP=∠BDQ
再证明△ADP全等于△BDQ
｛∠A=∠DBQ，AD=BD，∠ADP=∠BDQ
∴PD=QD
又∵∠PDQ=60°
∴△DPQ为等边三角形（正三角形）
（2）
解：（根据等边三角形面积公式：若一边为a，那么高为2分根号3a）
由题意得：DP为x
∴S△DPQ=4分之根号3 · x^2
∵P在AB上，若到D距离最短，肯定垂直于AB （PD⊥AB）
∴三线合一（等边三角形ABD中）
∴AP=二分之一AB=2
∵PD⊥AB
∴AP^2+PD^2=AD^2
PD=2根号3
∴S△DPQ 最小为二分之根号432.
解：（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD为等边三角形
∴∠DBC =60°，AD=BD
∴∠DBC =∠A
∵AP=BQ
∴△BDQ≌△ADP
（2）过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E（如图）
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD=3
∵AP=2
∴BP=1，BQ=AP=2
∠CBE=180°－120°=60°
∴BE=1，QE=根号3
∴PE=2，PQ=根号下（2�0�5+（根号3）�0�5=根号7
∴cos∠BPQ=PE/PQ=2/根号7=2·根号7/7
答：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG= 1 2 CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG= 1 2 CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，...
答：在BC上找中点F,连接DF,直线最短.即:PE+PD=DF=3的平方根/2 ,证明:连接PE,PF,AC为角DCF的角平分线,角DCA=ACB=30度 CE=CF,CP=CP,相似三角形原理,三角形DCP=三角形BCP PE=PF 即：PE+PD=DF
答：答：∠A′EB+∠BGD′=120°，证明：∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠D=120°，∠ABC=120°，由折叠的性质可知∠EA′D′=60°，∠A′D′G=120°，∴∠A′EB+∠BGD′=180°×3-（360°-120°）-（120°+60°）=120°．
答：解：如图，∵∠A=60°，∴∠BAO=12∠A=12×60°=30°，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴AO：BO=cot30°=3，∵AC=2AO，BD=2BO，∴AC：BD=3．故答案为：3．
答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD．∵∠A=60°，∴∠BCD=60°，△ABD是等边三角形，∴△BDC是等边三角形．∠ADB=∠ABD=60°，∴∠CDB=∠CBD=60°．∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD=∠DEB=90°，∴∠GDB=∠GBD=30°，∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，∴∠BGD=360°-...
答：取AD的中点N′，连接MN′交BD于O，连接NN′，∵菱形ABCD关于直线BD是轴对称图形∴N、N′关于直线BD是对称，∴ON=ON′，∴OM+ON=OM+ON′=MN′∵在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=5.2cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∵N′为AD中点，M为AB中点...
答：(1)连接BD ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD ∵∠A=60°,∴BD=AD,∠ADB=60° ∵AE=DF,∴△ADE≌△DBF ∴∠AED=∠DFB ∴AEPF四点共圆.∴∠DFP=60° (2)延长PB至Q,使BQ=DP,连接CQ ∵∠DFP=∠BCD=60°,∴BCDP四点共圆 ∴∠CDP=∠CBQ ∵CD=CB,DP=BQ,∴△CDP≌△CBQ ∴CP=CQ ∵∠...
答：连接DB ∵在菱形ABCD中，∠A=60°，∴DB=AD=AB=BC=DC，∵AE=DF，∴DE=CF，∵∠A=60°，DB是对角线，∴∠ADB=60°，∴∠ADB=∠C=60°，∴△DBE≌△BCF，∴EB=FB．∠DBE=∠CBF，∵∠CBF+∠DBF=60°，∴∠DBE+∠DBF=60°，∴△EBF是等边三角形 ...
答：A 首先延长DC与A′D′，交于点M，由四边形ABCD是菱形、折叠的性质，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后设CF=x，D′F=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答案．解：延长DC与A′D′，交于点M， ∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB...
答：△BEF是等边三角形 证明：连接BD ∵AB=AD，∠A=60° ∴△ABD是等边三角形 ∴∠ABE=60°，AB=BD ∵∠EBF=60° ∴∠ABE=∠FBD ∵∠BDF=∠A=60° ∴△ABE≌△DBF ∴BE=BF ∵∠EBF=60° ∴△EBF是等边三角形
