高二数学：正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是CD和CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角大小

过M作ME∥DN交CC1于E。利用赋值法，令AB＝4。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D＝A1C1＝4√2、A1D⊥DM、A1C1⊥C1N、CD⊥CN。
∵M、N分别是CD、CC1的中点，∴DM＝C1N＝2。

∵ME∥DN、DM＝CM，∴CE＝EN＝1，∴C1E＝4－1＝3。
∴由勾股定理，有：
ME^2＝CM^2＋CE^2＝4＋1＝5， A1M^2＝A1D^2＋DM^2＝16×2＋4＝36，
A1E^2＝A1C1^2＋C1E^2＝16×2＋9＝41。
∴ME^2＋A1M^2＝A1E^2，∴由勾股定理的逆定理，有：A1M⊥ME，∴A1M⊥DN。
∴异面直线A1M与DN所成的角为 90°。

90°　[解析] 因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，故A1在平面CDD1C1上的射影为D1，

即A1M在平面CDD1C1上的射影为D1M，

而在正方形CDD1C1中，由tan∠DD1M＝tan∠CDN＝，

可知D1M⊥DN，

由三垂线定理可知，A1M⊥DN.

如果满意麻烦采纳下哦谢谢啦

有两种解法，一个是建立直角坐标系，二是按照几何的方法解

（1）如上图1所示，以D为坐标原点，建立直角坐标系，由于这是正方体，所以X，Y，Z轴相互垂直比较好做直角坐标系，设正方体的边长为2，以便于计算，也可以把边长设为其他数值，反正结果都是一样的

A1（0，2，2），M（1，0，0），D（0，0，0），N（2，0，1）（坐标点算好是关键）

设向量A1M=a，向量DN=b

∴a=（1，-2，-2），b=（2，0，1）

∴|a|=√[1²＋(-2)²+(-2)²]=3，|b|=√5

a×b=1*2+(-2)*0+(-2)*1=0

∴a×b=|a|*|b|*cosα（α为两个向量的夹角）

解出cosα=0，α=k*π/2，也就是两个向量垂直

∴异面直线A1M和DN所成的夹角为90°

（2）如图2所示，取BB1的中点F，连接NF，AF，延长BB1，取B1E=B1B/2(也就是BB1的一半)，连接A1E，ME，AM，BM

∵B1F=C1N，B1F∥C1N，∠FB1C1=90°

∴四边形B1FNC1为矩形

∴B1C1=NF，B1C1∥NF→AD=NF，AD∥NF

∴四边形ADNF为平行四边形

∴AF∥DN

∵A1E在面A1ABB1上，A1A=EF=2，AA1∥EF

∴四边形A1AFE为平行四边形

∴A1E∥AF

∴A1E∥DN

∴∠EA1M就是异面直线A1M和DN的夹角

很容易可以求出AM=√5，MB=√5，BE=3，AA1=2，B1E=1，A1B1=2

∴A1E=√5，A1M=3，ME=√14

∴ME²=A1E²+A1M²(即ME为斜边的直角三角形)

∴∠EA1M=90°

∴异面直线A1M和DN所成的夹角为90°