初二数学题:如图,在△ABC中,AP,CP分别平方∠BAC,∠ACB,试说明点P在∠ABC的平分线上。
(1)证明:过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN,PG⊥AC于点E、F、G,∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P,∴PE=PF,PF=PG,∴PE=PG,∴PA平分∠BAC的外角∠CAM;(2)证明:∵由(1)知PA平分∠BAC的外角∠CAM,∴∠DAE=∠CAE.∵CE⊥AP,∴∠AED=∠AEC=90°.在△ADE与△ACE中,∵
∠DAE=∠CAEAE=AE∠AED=∠AEC
,∴△ADE≌△ACE,∴CE=DE;(3)当∠DAE=∠ABC时,AP∥BC.故添加的条件可以为:∠DAE=∠ABC.
三角形的一个内角平分线与这个角的对边所在直线相交,连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形内角平分线。
由定义可知,三角形的内角平分线是一条线段。
三角形有六个外角,所以三角形有六条外角平分线。
把一个角平均分成两个角的线段或射线叫做这个角的平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点,这一点称为三角形的内心,内心到三角形三边的距离相等。
定理
三角形内角平分线的性质定理:三角形的内角平分线内分对边成两条线段,那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形内角平分线的判定定理:在Rt△ABC中,若点D按照边AB和边AC的比内分边BC,则线段AD是∠BAC的平分线。
三角形外角平分线的性质定理:三角形的外角平分线分对边成两条线段,那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。三角形外角平分线的判定定理:在Rt△ABC中,若点D按照边AB和边CD的比外分边BC,则线段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。
证明:(1)∵BQ是∠ABC的角平分线,∴∠QBC=12∠ABC.∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,且∠BAC=60°,∠ACB=40°,∴∠ABC=80°,∴∠QBC=12×80°=40°,∴∠QBC=∠C,∴BQ=CQ;(2)延长AB至M,使得BM=BP,连结MP.∴∠M=∠BPM,∵△ABC中∠BAC=60°,∠C=40°,∴∠ABC=80°,∵BQ平分∠ABC,∴∠QBC=40°=∠C,∴BQ=CQ,∵∠ABC=∠M+∠BPM,∴∠M=∠BPM=40°=∠C,∵AP平分∠BAC,∴∠MAP=∠CAP,在△AMP和△ACP中,∵∠M=∠C∠MAP=∠CAPAP=AP∴△AMP≌△ACP,∴AM=AC,∵AM=AB+BM=AB+BP,AC=AQ+QC=AQ+BQ,∴AB+BP=AQ+BQ.
点P为角A角平分线和角C的角平分线交点,三角形的内角角平分线的交点为三角形的内心(内切圆的圆心),三角形的两个内角角平分线就可以定P点为三角形的内切圆圆心即内心,所以角B的角平分线必过点P即P点肯定在角B的角平分线上。还有一种方法就是过点P做AB、AC、BC、的垂线,根据角平分线的性质(过一个角的角平分线上一个点做角两边的垂线,则这两根垂线相等)则这三根垂线会两两相等。P为其中两个角角平分线交点,过P点做AB和BC的垂线,可以根据现有的条件推出过P点垂直于AB和BC的两条垂线相等。在根据角平分线性质可以推出过B点连接P点则BP就为角ABC的角平分线,如果不经过P点则BP不能平分角ABC.
先来分析一下啊~
条件是任意三角形,所以知道内角和180°
角平分线,性质是,其上任意一点,到平分线那个角的两边的距离相等
既然你的条件只能得到这些东西,那么肯定是这些东西可以做出来的~
然后看问题:证明BC平分角ABC
那么,如何证明是角平分线呢?最基本的,角ABP=角CPB(其他的应该没学吧~)
如何证明呢?
用性质的逆定理,如果P到两边的距离相等就好了不是么~
所以。过P做距离,PD垂直于AB PE垂直于AC
好,就得到两个三角形,很容易想到全等吧?
再证全等,首先,PB=BP。然后貌似看不出什么条件了吧?
好,如何证明三角形全等?首先,SSS排除,因为BE=BF不可直接证出,角ABP=角CBP,就是要证这个!那么PE=PF呢?
好,都不好看是把,下面还有那些也懒得说了~
那么再看看题,AP AC是角平分线,这条件没用呢!
所以P到AB AC距离相等是吧过P做PM垂直于AC,那么PE=PM=PF。这不就好了?
那么三角形就有两对边对应相等了吧?
然后我们刚才做的什么?距离是不?距离不就是垂线嘛!
所以PE垂直AB PF垂直BC
太好了,HL!
好,所以三角形全等,剩下不用说了~
思路啊,怎么分析基本都说了。
最佳不解释~
证明:作PD垂直AB于D,PE垂直AC于E,PF垂直BC于F.
又PA平分角BAC,则PD=PE;
同理可证:PE=PF.
故:PD=PF,即点P到BA,BC的距离相等;
所以,点P在角ABC平分线上.
三角形角平分线定交于一点
所以P在∠ABC的平分线上。
答:在Rt△ABD中:AB²-AD²=BD² ① 在Rt△ADP中:AP²-AD²=PD² ② ①-②得:AB²-AP²=(BD+PD)(CD-PD)=PB×PC 不懂追问~~希望我的回答对你有帮助,采纳吧O(∩_∩)O!
答:a^2-b^2=de c^2-b^2=de ∵① ∴AB²-AP²≠PB×PC(不成立)即AB²-AP²=PB×PC
答:设角ABD=∠1,∠DBC=∠2 则因为AB=AC ∠1+∠2=∠ABC=∠C ∠1=∠C-∠2 ① 且BD⊥AC ∠A+∠1=90° ∠2+∠C=90° ∠2=90°-∠C ② ∠A=90°-∠1,将①代入 ∠A=90°-∠C+∠2,由②可得 ∠A=∠2+∠2 得证 ...
答:解:∵sin60°=BE/AB=a/AB ∴AB=2√3a/3 ∴AE=√3a/3 ∵AB=AC ∴CE=√3a/3=CD ∵tan∠EBC=CE/BE=√3/3 ∴∠EBC=30° ∴BC=2CE=2√3a/3=AC ∵AB+AC+BC=24 ∴2√3a=24,∴a=4√3 ∴AB=AC=BC=8 ∴BE=4√3,EC=CD=4 ∴DE=4√3,BD=BC+CD=8+4=12 ∴△BDE...
答:(1)证明:∵∠BAC=90° AB=AC=6,D为BC中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC ∵AE=CF∴△AED≌△CFD (2)解:依题意有:FC=AE=x,∵△AED≌△CFD ∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 ∴S△EDF=S四边形AEDF-S△AEF=9-1/2(6-x)x=1/2X&...
答:点P为角A角平分线和角C的角平分线交点,三角形的内角角平分线的交点为三角形的内心(内切圆的圆心),三角形的两个内角角平分线就可以定P点为三角形的内切圆圆心即内心,所以角B的角平分线必过点P即P点肯定在角B的角平分线上。还有一种方法就是过点P做AB、AC、BC、的垂线,根据角平分线的...
答:证明:过点A作AP⊥FD于点P,过点C作CQ⊥FD于点Q,由于点E为AC中点,易证△AEP≌△CEQ ∴AP=CQ ∴S△AEP=S△CEQ(同底等高)即1/2*AF*AD*Sin∠FAD=1/2*DF*CD*Sin∠CDE Sin∠FAD=Sin(π-∠BAD)=Sin(∠BAD)=Sin(∠ECD)(△ADB∽△CAB)=Sin(∠CDE)(Rt△CDA中斜边AC上的中线E...
答:1、因为AD是角平分线、BD=CD 所以AD是底边BC的中垂线 所以AD垂直BC 又因为BD=CD 所以角B等于角C 又因为条件里面的两个垂直加BD=CD 所以三角形BDE全等于三角形CDF(角角边)所以EB=FC
答:∴△BDE≌△ADF(SAS)∴ED=FD,∠BDE=∠ADF ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90° ∴△DEF为等腰直角三角形;②若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图所示,连结AD ∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点 ∴AD=BD,AD⊥BC ∴∠DAC=∠ABD=45° ∴∠DAF=∠DBE=135°...
答:初二下的话对三个角为30、60、90度的直角三角形的三条边的关系应该掌握了吧:三个角对边长度的比为:1:√2:3。所以如图做AH⊥BC,∠1=∠2=∠3=60°,根据上述长度关系:BE=AE=2EH BC=2BH=2*(BE+EH)=2*(2EH+EH)=6EH 总上,BC=3BE ...