实数是什么数？为什么复数又是什么数呢？
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-08-02
实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：
例1 若不等式 成立，求实数 .
错解：
因为两个不全为实数的复数不能比较大小，所以性质 在复数集中不一定成立，上述解法是错误的。
正确的解法应该是直接由条件得出不等式组
例2 设关于x的方程
错解：设两根为
以 ，从而得
与题意不符。
其错因在于复数集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正确的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴两实根同号，又2(m －)＜0，
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
综上（1）、（2）得
例3 已知方程 的两个虚数根为α,β,且|α－β|＝2 ，求实数k.
错解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虚根，不符题意，显然错误。错因何在？显然错在等式 不全为实数时，不一定成立。事实上，令 显然 更何况，教科书中对 无定义呢。
本题正确的解法是：
解一：∵ ∴设 ∴
∴
解二：∵ ∴
例4 已知
错解：由
∴
检验：由
∴
从而得
错因何在？显然是在a,b不全为实数时，等式a2＋b2＝0并不一定等于a＝b＝0.
事实上，分设
然而 ，进一步证明 是错误的。
例5 求 的值。
错解：
错因何在？显然在于实数集上的指数运算法则： 不一定适用于复数集，即 ，且在复数集中 ；
事实上，
例6 已知 中至少有一个为0.
错证：设 都非0，则 与题设矛盾，因此 中至少有一个为0.
上述证法运用了反证法去证明等价命题，貌似正确，实则在逻辑上有问题，因为 这一性质并没有被证明可以推广到复数集中去。
正确的证法是利用模去证：
，从而必有
为0.
或用共轭复数证法： 即
根据教科书及上述各例，归纳出复数与实数的主要区别如下：
1、两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 则上式不一定成立，如例3；
5、实系数方程 △＝ 时无实根，但在复数集中 ；
6、 在实数集中a的n次方根的情况是：
（1）n为奇数，有一个实根 ，
（2）n为偶数，（i）a＞0时有两个实数 , (ii) a＜0时无实根，但在复数集中有且仅有n个n次方根，因此，在实数集中 不能分解成一次因式之积，而在复数集中 ；
7、实数集中成立的一些运算法则及命题未经论证不能擅自用于复数集，如例5和例6。
实数是什么数?为什么复数又是什么数呢?
答：实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：例1 若不等式 成...
什么是实数什么是复数
答：1、实数（realnumber）是有理数和无理数的总称。实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。2、虚数 虚数是指实数以外的复数，其中实部为0的虚数称为纯虚数。在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i2=-1。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观...
什么是实数与复数?
答：首先，实数是可以表示为小数或分数的数，例如1、2、3等。而复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1的条件。复数可以表示为小数或分数的形式，但也可以表示为直角坐标系中的点或向量。其次，实数可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算，...
实数 虚数 复数是什么?
答：实数是有理数和无理数的总称，表示为 a。虚数是复数中除了实数的数。复数就是实数和虚数的总称，所有的数都是复数。实数包括有理数和无理数。有理数主要包括整数、分数、有限小数、无限循环小数，无理数主要包括开方开不尽的数、无限不循环小数。圆周率“π”属于无限不循环小数；“根号2”、“3的立...
有理数、无理数、实数以及什么是复数?
答：实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。4、虚数 在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义...
什么是自然数实数虚数纯虚数复数
答：自然数：所有大于等于零的正整数。实数：包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。虚数：虚数是指平方是负数的数复数：复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位（即-1开根）,只有虚部的叫虚数中国物联网校企联盟技术部。
什么是实数呢?还有复数
答：称为imaginary number，意思是指这是凭空想象出来的数，是个虚幻的数。实数跟虚数合在一起，我们称为复数，complex number，也就是 complex number = real number + imaginary number 复数 = 实数 + 虚数。国内在这方面的教学，整体有两个特色：1、一是近百年来，复数的教学没有丝毫长进，一直原地...
什么是实数、什么是虚数?
答：在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。 实数：有理数和无理数统称为实数 整数：整数包括正...
什么是自然数什么是有理数什么是整数什么实数什么是复数 快回复!!!急...
答：实数就是除了虚数以外的所有数的集合，坐标表示就是坐标轴上所有点的集合，虚数就是含有虚部，也就是i的部分的数，其中i是-1的平方根。虚数坐标表示就是在虚平面内除了实轴外所有点的集合 实数分为有理数和无理数，区别在于有理数可以用两个整数之比的形式表示出来，无理数则不能。实数又可以分为...
实数 虚数 复数是什么意思?
答：复数包括实数和虚数，纯虚数就是虚数；z=a+bi，z为复数，a为实数，bi为虚数，a=0时，z就是虚数；b=0时，z就是实数。虚数和实数有着同等地位，二者合在一起成为复数。一个复数由实部和虚部组成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意实数。如果一个复数只有虚数部分，则称这个复数是纯虚数。很多时候...
例1 若不等式 成立，求实数 .
错解：
因为两个不全为实数的复数不能比较大小，所以性质 在复数集中不一定成立，上述解法是错误的。
正确的解法应该是直接由条件得出不等式组
例2 设关于x的方程
错解：设两根为
以 ，从而得
与题意不符。
其错因在于复数集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正确的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴两实根同号，又2(m －)＜0，
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
综上（1）、（2）得
例3 已知方程 的两个虚数根为α,β,且|α－β|＝2 ，求实数k.
错解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虚根，不符题意，显然错误。错因何在？显然错在等式 不全为实数时，不一定成立。事实上，令 显然 更何况，教科书中对 无定义呢。
本题正确的解法是：
解一：∵ ∴设 ∴
∴
解二：∵ ∴
例4 已知
错解：由
∴
检验：由
∴
从而得
错因何在？显然是在a,b不全为实数时，等式a2＋b2＝0并不一定等于a＝b＝0.
事实上，分设
然而 ，进一步证明 是错误的。
例5 求 的值。
错解：
错因何在？显然在于实数集上的指数运算法则： 不一定适用于复数集，即 ，且在复数集中 ；
事实上，
例6 已知 中至少有一个为0.
错证：设 都非0，则 与题设矛盾，因此 中至少有一个为0.
上述证法运用了反证法去证明等价命题，貌似正确，实则在逻辑上有问题，因为 这一性质并没有被证明可以推广到复数集中去。
正确的证法是利用模去证：
，从而必有
为0.
或用共轭复数证法： 即
根据教科书及上述各例，归纳出复数与实数的主要区别如下：
1、两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 则上式不一定成立，如例3；
5、实系数方程 △＝ 时无实根，但在复数集中 ；
6、 在实数集中a的n次方根的情况是：
（1）n为奇数，有一个实根 ，
（2）n为偶数，（i）a＞0时有两个实数 , (ii) a＜0时无实根，但在复数集中有且仅有n个n次方根，因此，在实数集中 不能分解成一次因式之积，而在复数集中 ；
7、实数集中成立的一些运算法则及命题未经论证不能擅自用于复数集，如例5和例6。
答：实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：例1 若不等式 成...
答：1、实数（realnumber）是有理数和无理数的总称。实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。2、虚数 虚数是指实数以外的复数，其中实部为0的虚数称为纯虚数。在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i2=-1。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观...
答：首先，实数是可以表示为小数或分数的数，例如1、2、3等。而复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1的条件。复数可以表示为小数或分数的形式，但也可以表示为直角坐标系中的点或向量。其次，实数可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算，...
答：实数是有理数和无理数的总称，表示为 a。虚数是复数中除了实数的数。复数就是实数和虚数的总称，所有的数都是复数。实数包括有理数和无理数。有理数主要包括整数、分数、有限小数、无限循环小数，无理数主要包括开方开不尽的数、无限不循环小数。圆周率“π”属于无限不循环小数；“根号2”、“3的立...
答：实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。4、虚数 在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义...
答：自然数：所有大于等于零的正整数。实数：包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。虚数：虚数是指平方是负数的数复数：复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位（即-1开根）,只有虚部的叫虚数中国物联网校企联盟技术部。
答：称为imaginary number，意思是指这是凭空想象出来的数，是个虚幻的数。实数跟虚数合在一起，我们称为复数，complex number，也就是 complex number = real number + imaginary number 复数 = 实数 + 虚数。国内在这方面的教学，整体有两个特色：1、一是近百年来，复数的教学没有丝毫长进，一直原地...
答：在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。 实数：有理数和无理数统称为实数 整数：整数包括正...
答：实数就是除了虚数以外的所有数的集合，坐标表示就是坐标轴上所有点的集合，虚数就是含有虚部，也就是i的部分的数，其中i是-1的平方根。虚数坐标表示就是在虚平面内除了实轴外所有点的集合 实数分为有理数和无理数，区别在于有理数可以用两个整数之比的形式表示出来，无理数则不能。实数又可以分为...
答：复数包括实数和虚数，纯虚数就是虚数；z=a+bi，z为复数，a为实数，bi为虚数，a=0时，z就是虚数；b=0时，z就是实数。虚数和实数有着同等地位，二者合在一起成为复数。一个复数由实部和虚部组成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意实数。如果一个复数只有虚数部分，则称这个复数是纯虚数。很多时候...
