求1^2+2^2+3^2+…n^2的值？请用初中知识进行解答！要详细解答过程！ 方法好的可以加分！
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-28
2+2^2+2^3+2^4+......+2^n=? 求解答
所以：
1^3 = 0^3 + 3*0^2 + 3*0 + 1
2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1
.
.
.
n^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
(n+1)^3= n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1
两边对应相加：
1^3 + 2^3 +……+(n+1)^3 =(0^3 + 1^3 +……+n^3)+3(0^2+1^2+……+n^2)+3(0+1+2+……+n)+n
消去立方：
(n+1)^3 = 3(1^2 +2^2+……+n^2)+3n(n+1)/2+n
得n*(n+1)*(2n+1)/6
用构造的方法证明 1^2+2^2+3^2+…n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
∵ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=3n^2+3n
∴ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=3n^2+3n
(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n=3(n-1)^2+3(n-1)
(n-2)(n-1)n-(n-3)(n-2)(n-1)=3(n-2)^2+3（n-2）
类似的，直到
4×3×2-3×2×1=3×2^2+3×2
左边的式子，可以斜着相互抵消，即得：
n(n+1)(n+2)-3×2×1=3×（2^2+……+n^2）+3×（2+3……n）
整理得：n(n+1)(n+2)=3×（1^2+……+n^2）+3×（1+2+3+……n）
又1+2+3+……n=n（n+1）/ 2
将该式代入上式整理即得：
1^2+2^2+3^2+…n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
证毕
对于构造的式子，应该有更优的使等号右边正好出现的3变为1，你可以自己尝试着凑一下，用类似的方法你还可以证明:
1^3+2^3+.......+n^3=1/4n^2(n+1)^2
（1^2+2^2+3^2+…n^2 ）+（ 1^2+2^2+3^2+…n^2 ）+2*（1*n+2*（n-1）+...+n*1）
n分奇数，偶数2种情形来分类讨论。
=（1+n）^2+（2+n-1）^2+...+（n+1）^2
=n（1+n）^2
2*（1*n+2*（n-1）+...+n*1）=A 这个自己可以求，则
2（1^2+2^2+3^2+…n^2 ）+A=n（1+n）^2 所以
（1^2+2^2+3^2+…n^2 ）=【n（1+n）^2-A】/2
按公式:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明要用到数学归纳法，也许会超出初中的水平，故只要当做公式记忆就可以了。
怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式?
答：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。证明过程如下：n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+.+n^2 =1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*...
1∧2+2∧2+3∧2+...n∧2等于多少?
答：又因为nx(n+1)=1/3((nx(n+1)x(n+2)-(n-1)xnx(n+1))所以，S=1/3(1x2x3-0x1x2)+1/3(2x3x4-1x2x3)+1/3(3x4x5-2x3x4)+...+1/3((nx(n+1)x(n+2)-(n-1)xnx(n+1))-1/2nx(n+1)=1/3nx(n+1)x(n+2)-1/2nx(n+1)=1/6n(n+1)(2n+1)...
1的平方 2的平方 3的平方 4的平方 … n的平方等于多少啊
答：4^3=3^3+3×3^2+3×3+1 ………(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 将这个等式中等号两边的式子分别加起来,划去等号两边相同的数,就得到,(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n 第二个括号内的和就是一个等差数列,和为n(1+n)÷2,于是 (n+1)^3=1+...
1的平方加2的平方...一直加到n的平方和是多少?有公式吗?
答：＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6 也满足公式 4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
求数列1平方,2平方,3平方……n平方的前n项和
答：解答过程如下：设S=1^2+2^2+...+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+...+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1...
1^2+2^2+3^2+...+n^2=?的公式推导
答：解题过程如下：
1^2+2^2+3^2+……+n^2怎么算,求过程
答：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解题过程如下：解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1 则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1 ...3^3-2^3=3*2^3+3*2+1 2^3-1^3=3*1^3+3*1+1 把等式两边同时求和得，（n+...
1的平方加2的平方一直加到n的平方等于多少
答：等式两边相加：（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+···+n²）+3（1+2+3+···+n）+（1+1+1+···+1）3（1²+2²+3²+···+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3&#...
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 的计算公式是什么
答：1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。解：1、因为当n=1时，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，2、当n=2时，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，3、设n=k（k≥2，k为正数）时，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成...
1^2+2^2+3^2+...+n^2=?(要求解题过程)
答：………3³－2³＝3·2²＋3·2＋1 2³－1³＝3·1²＋3·1＋1 将这n个式子两端分别相加，得：(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n 由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2 代...
这是等比数列求和，首项2，公比2，项数n。
求和=2×（1-2^n）÷（1-2）=2^(n+1)-2，2的n+1次幂减2.
如图所示，n=14时，和为1015。望采纳。。。。。
所以：
1^3 = 0^3 + 3*0^2 + 3*0 + 1
2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1
.
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n^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
(n+1)^3= n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1
两边对应相加：
1^3 + 2^3 +……+(n+1)^3 =(0^3 + 1^3 +……+n^3)+3(0^2+1^2+……+n^2)+3(0+1+2+……+n)+n
消去立方：
(n+1)^3 = 3(1^2 +2^2+……+n^2)+3n(n+1)/2+n
得n*(n+1)*(2n+1)/6
用构造的方法证明 1^2+2^2+3^2+…n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
∵ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=3n^2+3n
∴ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=3n^2+3n
(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n=3(n-1)^2+3(n-1)
(n-2)(n-1)n-(n-3)(n-2)(n-1)=3(n-2)^2+3（n-2）
类似的，直到
4×3×2-3×2×1=3×2^2+3×2
左边的式子，可以斜着相互抵消，即得：
n(n+1)(n+2)-3×2×1=3×（2^2+……+n^2）+3×（2+3……n）
整理得：n(n+1)(n+2)=3×（1^2+……+n^2）+3×（1+2+3+……n）
又1+2+3+……n=n（n+1）/ 2
将该式代入上式整理即得：
1^2+2^2+3^2+…n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
证毕
对于构造的式子，应该有更优的使等号右边正好出现的3变为1，你可以自己尝试着凑一下，用类似的方法你还可以证明:
1^3+2^3+.......+n^3=1/4n^2(n+1)^2
（1^2+2^2+3^2+…n^2 ）+（ 1^2+2^2+3^2+…n^2 ）+2*（1*n+2*（n-1）+...+n*1）
n分奇数，偶数2种情形来分类讨论。
=（1+n）^2+（2+n-1）^2+...+（n+1）^2
=n（1+n）^2
2*（1*n+2*（n-1）+...+n*1）=A 这个自己可以求，则
2（1^2+2^2+3^2+…n^2 ）+A=n（1+n）^2 所以
（1^2+2^2+3^2+…n^2 ）=【n（1+n）^2-A】/2
按公式:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明要用到数学归纳法，也许会超出初中的水平，故只要当做公式记忆就可以了。
答：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。证明过程如下：n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+.+n^2 =1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*...
答：又因为nx(n+1)=1/3((nx(n+1)x(n+2)-(n-1)xnx(n+1))所以，S=1/3(1x2x3-0x1x2)+1/3(2x3x4-1x2x3)+1/3(3x4x5-2x3x4)+...+1/3((nx(n+1)x(n+2)-(n-1)xnx(n+1))-1/2nx(n+1)=1/3nx(n+1)x(n+2)-1/2nx(n+1)=1/6n(n+1)(2n+1)...
答：4^3=3^3+3×3^2+3×3+1 ………(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 将这个等式中等号两边的式子分别加起来,划去等号两边相同的数,就得到,(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n 第二个括号内的和就是一个等差数列,和为n(1+n)÷2,于是 (n+1)^3=1+...
答：＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6 也满足公式 4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
答：解答过程如下：设S=1^2+2^2+...+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+...+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1...
答：解题过程如下：
答：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解题过程如下：解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1 则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1 ...3^3-2^3=3*2^3+3*2+1 2^3-1^3=3*1^3+3*1+1 把等式两边同时求和得，（n+...
答：等式两边相加：（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+···+n²）+3（1+2+3+···+n）+（1+1+1+···+1）3（1²+2²+3²+···+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3&#...
答：1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。解：1、因为当n=1时，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，2、当n=2时，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，3、设n=k（k≥2，k为正数）时，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成...
答：………3³－2³＝3·2²＋3·2＋1 2³－1³＝3·1²＋3·1＋1 将这n个式子两端分别相加，得：(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n 由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2 代...
