怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式？
证明：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
n^3-1^3
=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料立方差公式：
证明方法：
遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a2，同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合，所以很容易想到a2b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a2b项，得到下式，同时进行相应的合并。
n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数，后面括号中各项式的幂之和都为n-1，an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)
解题时常用它的变形：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)
相应的，立方差公式也有变形：a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)
解题过程如下：
扩展资料数学归纳法性质：
数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.
证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）
k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
证明过程如下：
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
前后消项：
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
常用证明方法：
1、综合法。综合法是一种从题设到结论的逻辑推理方法，也就是由因导果的证明方法。
2、分析法。分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。分析法的证明路径与综合法恰恰相反。
3、反证法。由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。
反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：
1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。
2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。
证明：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
n^3-1^3
=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
立方差公式：
证明方法：
遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a2，同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合，所以很容易想到a2b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a2b项，得到下式，同时进行相应的合并。
n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数，后面括号中各项式的幂之和都为n-1，an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)
解题时常用它的变形：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)
相应的，立方差公式也有变形：a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)
简单计算一下即可，答案如图所示
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
n=1时，n+1=2
(2^1)*1=2，等式成立。
假设当n=k(k为自然数，且k>=1)时等式成立。
即
(k+1)(k+2)...(k+k)=(2^k)*1*3*...*(2k-1)
则当n=k+1时，
(k+1+1)(k+1+2)...(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+1)(2k+2)
=(k+1)(k+2)...(k+k)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=(k+1)(k+2)...(k+k)(2k+1)2
=(2^k)*1*3*...*(2k-1)*(2k+1)*2
=[2^(k+1)]*1*3*...*[2(k+1)-1]
等式也成立。
综上，(n+1)(n+2)(n+3)+.......+(n+n)=(2^n)*1*3*.....(2n-1)
等式成立。
答：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。证明过程如下：n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+.+n^2 =1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*...
答：解题过程如下：
答：即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)平方和公式-证明 证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6 1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2...
答：[分析]令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)考察它的x^(n-2)的系数，设为A 从二项式拆解的方向看 A是从1~n之间任意的取两个不同数相乘，然后得其和便是，那么这里我们把Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2给它加上去，此时 A+Sn=n(n+1)/2*n(n+1)/2=[n(n+1)/2]^2 从多...
答：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 推导过程：1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 。2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5。3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6。则当N＝x＋1时，1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1...
答：假设n=k时成立 即1^2+2^2+3^3+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6 n=k+1时 1^2+2^2+3^3+……+k^2+(k+1)^2 =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2 =(k+1)[k(2k+1)+6k+6]/6 =(k+1)[2k^2+7k+6]/6 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 =(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1...
答：2^3-1^3=3*2^2-3*2+1 3^3-2^3=3*3^2-3*3+1 4^3-3^3=3*4^2-3*4+1 ...n^3-(n-1)^3=3*n^2-3n+1 叠加得：n^3-1^3 =3*(2^2+3^2+...+n^2)-3(2+3+...+n)+n-1 =3*(1^2+2^2+...+n^2)-3(1+2+...+n)+n-1 =3*(1^2+2^2+......
答：即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6 证法一（归纳猜想法）：1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9...
答：利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*...
答：证明过程：根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1 a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1 a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1 a=4时：5³-4³=3×4²+3×...
