跪求人教B版高中数学必修五数列问题的解决方法及经典题型
设an=a1*q^(n-1),依题意:
a1=20,a2=20^2=400
所以q=a2/a1=20
所以an=20*20^(n-1)
所以a5=20*20^(5-1)=3200000
新课标人教A高一数学必修1测试题
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共60分)
1.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于
A.{x|x∈R} B.{y|y≥0}
C.{(0,0),(1,1)} D.
2.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于
A.21 B.8 C.6 D.7
3. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=- D.f(x)=-|x|
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4〕上递减,则a的取值范围是
A.〔-3,+∞〕 B.(-∞,-3)
C.(-∞,5〕 D.〔3,+∞)
5. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是
A.y=( )2 B.y= C.y= D.y=
6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是
A.y=x2-2x+2(x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1)
C.y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x≥1)
7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是
A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C.m≥4 D.0≤m≤4
8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
(1)如果不超过200元,则不给予优惠;
(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;
(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折 优惠.
某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款是
A.413.7元 B.513.7元
C.546.6元 D.548.7元
9. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是
10. 已知函数f(n)= 其中n∈N,则f(8)等于
A.2 B.4 C.6 D.7
11.如图,设a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序( )
A、a<b<c<d B、a<b<d<c
C、b<a<d<c D、b<a<c<d
12..已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=ax+b的图象不经过:( )
A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知f(x)=x2-1(x<0),则f-1(3)=_______.
14. 函数 的定义域为______________
15.某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图,则:
①前3年总产量增长速度增长速度越来越快;
②前3年中总产量增长速度越来越慢;
③第3年后,这种产品停止生产;
④第3年后,这种产品年产量保持不变.
以上说法中正确的是_______.
16. 函数y= 的最大值是_______.
三、解答题
17. 求函数y= 在区间〔2,6〕上的最大值和最小值.(10分)
18.(本小题满分10分) 试讨论函数f(x)=loga (a>0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.
答案
一. BACCB BDCAD BA 二。13. 2 ,14. , 15. ①④ 16. 4
三.17.解:设x1、x2是区间〔2,6〕上的任意两个实数,且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)= -
=
= .
由20,(x1-1)(x2-1)>0,
于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数y= 是区间〔2,6〕上的减函数.
因此,函数y= 在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当x=2时,ymax=2;当x=6时,ymin= .
18.解:设u= ,任取x2>x1>1,则
u2-u1=
=
= .
∵x1>1,x2>1,∴x1-1>0,x2-1>0.
又∵x1<x2,∴x1-x2<0.
∴ <0,即u2<u1.
当a>1时,y=logax是增函数,∴logau2<logau1,
即f(x2)<f(x1);
当0<a<1时,y=logax是减函数,∴logau2>logau1,
即f(x2)>f(x1).
综上可知,当a>1时,f(x)=loga 在(1,+∞)上为减函数;当0<a<1时,f(x)=loga 在(1,+∞)上为增函数.
数列是高中数学的重要内容,它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系,是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法(如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等)。在处理数列综合问题时,若能灵活运用这些数学思想与方法,则会取得事半功倍的效果。
一、 函数思想
数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成是方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数,而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数,因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析,加以解决。
例1.已知数列的通项公式 ,这个数列从第几项起,各项的数值逐渐增大?从第几项起各项的数值均为正?数列中是否存在数值与首项相同的项?
分析:根据条件,数列 的点都在函数 的图象上,如右图利用图象根据二次函数的性质可得,这个数列从第5项开始,各项的数值逐渐增大,从第9项起,各项的数值均为正数,第9项是与首项相同的项。
例2.已知数列 是等差数列,若 , ,求 。
解: ,故 为等差数列,其通项为一次函数,设 ,则点 , ,在其图象上, , , ,
故 ,解之得: 。
评注: 是关于n的一次函数,其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解 。
例3.设等差数列 的前n项和为 ,已知 , , 。
(1)求公差d的取值范围;(2)指出 、 、 …… 中哪一个值最大,并说明理由。
分析:对于(1),可考虑由 , 建立关于d的不等式组,对于(2)由 是n的二次函数加以考虑,转化为求二次函数的最值问题。
解:(1)由 知 ,
。
(2)
, 是关于n的二次函数,图象的对称轴方程为: ,
, ,故当整数 时, 最大,即 最大。
评注:对于等差数列来说, 是n的二次函数,且常数项为零,可写为 的形式,其图象必过原点,对于此题来说,由于 , ,故图象与x轴的另一交点横坐标
,满足 ,故对称轴为 , ,因此,判定 时 最大,以上思维过程更为简捷。
例4.等差数列 的首项是2,前10项之和是15,记 求 及 的最大值.
分析:由已知可求出公差d.解好本题的关键是对“ ”这一表达式准确、全面的认识: 是数列 的子数列,其中2,4,8,……, 组成等比数列, 则是这一子数列的前n项和,认识到上述三点,问题不仅较易于解决,而且从不同角度入手可得到求 最大值的不同解法.
解:设等差数列 的公差为d,由已知:
,解得
求 的最大值有以下三种解法.
解法一:
由
令 ,解得
又 ,解得
即在数列 中:
,
所以当 时, 的值最大,其最大值为:
解法二:
数列 的通项
令 ,得 ,
由此可得
故使 , 的最大值为4.
∴
解法三:
由 ,若存在自然数 ,
使得 ,且 ,则 的值最大.
解得 ,取 时, 有最大值:
反思回顾:上述三种求 最值的方法都是运用函数思想.解法一是通过数列 的单调性及 值的正负,求子数列 的前n项和 的最值.解法二是直接研究子数列 .解法三是研究 的单调性求其最值,解法三还可简化为研究函数 的单调性.
二、 方程思想
数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量 ,“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。
例5、设 是正数组成的数列,其前 项和为 ,并且对于所有的自然数 , 与2的等差中项等于 与2的等比中项,求 的通项公式。
解:由题意可知 整理得: ,当 时 解得 。又 - ,整理得: ,又 , ,即 是首项为2,公差为4的等差数列, 。
点评:本例利用了方程的消元思想由 、 消去 得到了
这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系,使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助 消去 利用 递推关系解题。
例6、已知等差数列 的公差是正数,并且 ,求前n项的和 。
解:由等差数列 知: ,从而 ,故 是方程 的两根,又 ,解之,得: 。再解方程组: ,所以 。
点评:本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ,再利用方程求得了首项与公差的值,从而使问题得到解决,由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 (或 )找出解题的捷径。。
三、 分类讨论思想
所谓分类讨论,就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时,我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究,最后综合各类的结果得到问题的解决。
例7、已知等差数列 的前n项的和 ,求 。
解:(1)当 时, ;
(2)当 时, ;
综合(1)(2)可知 。
点评:此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想,其理由是 中脚码 必须为正整数。
例8.已知{ }是公比为q的等比数列,且 成等差数列.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)设{ }是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
解:(Ⅰ)由题设
(Ⅱ)若
当 故
若
当
故对于
例9.(江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3 求数列{an}的通项公式.
解:方法一:先考虑偶数项有:
………
同理考虑奇数项有:
………
综合可得
例10. 设等比数列 的公比为 ,前n项和 。
(Ⅰ)求 的取值范围;
(Ⅱ)设 ,记 的前n项和为 ,试比较 与 的大小。
解:(Ⅰ)因为 是等比数列,
当
上式等价于不等式组: ①
或 ②
解①式得q>1;解②,由于n可为奇数、可为偶数,得-1<q<1.
综上,q的取值范围是
(Ⅱ)由 得
于是
又∵ >0且-1< <0或 >0
当 或 时 即
当 且 ≠0时, 即
当 或 =2时, 即
四、 化归与转化的思想
我们在处理数学问题时,常常将待解决的问题通过转化,化归成为一类我们比较熟悉问题来解决。
例11. 已知数列 的首项 ,前n项和为 ,且 ,求 的通项公式。
分析与略解:当n≥2时, , 。两式相减,得
,
。
可见 是公比为2的等比数列。
又 , ,
得 ,
则 。
因此 。
两边同除以 ,得
(常数),
可见 是首项为 ,公差为 的等差数列。因此
,
从而 。
评析:本例通过两次化归,第一次把数列化归为等比数列,第二次把数列化归为等差数列,随着化归的进行。问题降低了难度。
例12.设 是首项为1的正项数列,且 (n=1,2,3…),求通项 。
分析与略解:则已知有 。
由 为正项数列,知 ,故有 。(*)
方法1(叠乘法):由(*)有
。
利用
,
得
方法2(叠加法):由(*)式,记 ,则 。
利用 得 。
方法3(常数列):由(*)式有 ,可知 是常数列。
则 ,
得 。
评析:有些数列不易直接化成等差或等比数列,但经推理可寻求特殊的关系转化为可求通项的数列。上例巧妙利用
和 求解。
例13、已知数列 的通项公式为 ,求此数列的前 的和 。
解:
点评:本例是利用转化与化归的思想把数列中的每一项都拆开(拆项相消法)巧妙的求前 和。
例14、求证:
证法1:令 又
证法2:令
则
;
点评:证法1采用拆项分组求和证明的,证法2采用的是倒序相加法求和证明的。
总之由上可知化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等。
五.归纳猜想数学归纳思想
例15.设数列{an}的首项a1=a≠ ,且 ,
记 ,n==l,2,3,…•.
(I)求a2,a3;
(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(III)求 .
解:(I)a2=a1+ =a+ ,a3= a2= a+ ;
(II)∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,
所以b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ),
猜想:{bn}是公比为 的等比数列•
证明如下:
因为bn+1=a2n+1- = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a- , 公比为 的等比数列•
(III) .
例16.(湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.
(Ⅰ)求xn+1与xn的关系式;
(Ⅱ)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
(Ⅱ)设a=2,b=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的
最大允许值是多少?证明你的结论.
解(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得
因为x1>0,所以a>b.
猜测:当且仅当a>b,且 时,每年年初鱼群的总量保持不变.
(Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*
由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知
0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1.
而x1∈(0, 2),所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ,b=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk¬)>0.
又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).
综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.
例17.已知数列
(1)证明
(2)求数列 的通项公式an.
解:(1)方法一 用数学归纳法证明:
1°当n=1时,
∴ ,命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知,对一切n∈N时有
方法二:用数学归纳法证明:
1°当n=1时, ∴ ;
2°假设n=k时有 成立,
令 , 在[0,2]上单调递增,所以由假设
有: 即
也即当n=k+1时 成立,所以对一切
(2)下面来求数列的通项: 所以
,
又bn=-1,所以
最后,数学思想与方法是数学“灵魂”,它并不是完全抽象的东西,而是以数学知识为载体的客观存在的内容,是人们解题经验的积累,解题方法提炼和总结,具有应用性、概括性和指导性。因此在数列复习时,应高度重视数学思想方法的渗透,让学生领悟其价值、滋生应用的意识。
答:(1)因为a3+b5=21,a5+b3=13,{an}是等差数列,{bn}是等比数列 所以a1+2d+b1*q^4=21,a1+4d+b1*q^2=13 因为a1=b1=1 所以2d+q^4=20,4d+q^2=12 2d+q^4=20方程乘以2得4d+2*q^4=40 用4d+2*q^4=40减去4d+q^2=12得2*q^4-q^2-28=0即(2*q^2+7)*(q^2-4)=0 所...
答:在处理数列综合问题时,若能灵活运用这些数学思想与方法,则会取得事半功倍的效果。一、 函数思想数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成是方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数,而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数,因此许多数列问题可...
答:回答:首先你看中间的那排,一次是1 3 5 7 9 ……2n-1,然后就好算了,第20个中间那排是39往上依次减少2个,然后你运用等差数列进行求和,得到中间及以上一共的方块数量,然后乘以2再减去中间多算的一次数量可以得出答案,最后应该是a选项
答:一、(1){an}: 3, a2 {bn}: 1,q 1+(3+a2)=12==>a2=8 d=8-3=5=d an=3+(n-1)*5=5n-2 因为q=S2/b2=11/q 所以,q=√11 bn=b1*q^(n-1)=(√11)^(n-1)(2)a1=3,an=5n-2,==>Sn=n(a1+an)/2=n(5n+1)/2 cn=3/[n(5n+1)/2]=6/n(5n+1)=(6*...
答:解答:先写9,99,999,9999 第N项有N个9 则通项公式是an=10^n -1 ∴ 8,88,888,8888 第N项有N个8的一个通项公式是an=(8/9)*(10^n -1)
答:有2+4(n-1)=2+6(m-1)有3m=2n+1 由于2n+1一定是奇数,所以m只能取奇数。1,3,5,7,...,bm=2+6(m-1)<190有m<32.3 m 最大只能取31 所以 这两个等差数列的公共项就是:b1,b3,b5,b7,...b31(就是2,14,26,。。。,182),总共是16项 并且这也是个等差数列,公差比原来大一...
答:= S3 3/2(1/q² + 1/q + 1) = 9/2 1/q² + 1/q + 1 = 3 1/q² + 1/q - 2 = 0 (1/q - 1)(1/q + 2) = 0 q = 1 或 q = -1/2 当 q = 1 时 ,a1 = 3/2 当 q = -1/2 时 ,a1 = 6 望采纳!!!谢谢!!!
答:(2)求数列{a‹n›}的前n项和S‹n›.解: b‹n›=a‹n›-2n=3a‹n-1›-4n+6-2n=3a‹n-1›-6n+6=3a‹n-1›-6(n-1)=3[a‹n-1›-2(n-1)]=3b‹n-1›故...
答:利用(1)的结论求bn 分析数列{bn}相邻项之差 得到数列{bn}存在最大项 所以,存在n0=2009或2010,使得不等式恒成立 过程如下图:
答:a[n+1]=2an+1 a[n+1]+1=2(an+1)(a[n+1]+1)/(an+1)=2 故数列{an+1}是等比数列。an+1=(a1+1)q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n an=2^n-1