7年级上册数学解方程
含字母系数的一元一次方程
教学目标
1.使学生理解和掌握含有字母系数的一元一次方程及其解法；
2.理解公式变形的意义并掌握公式变形的方法；
3.提高学生的运算和推理能力.
教育重点和难点
重点：含有字母系数的一元一次方程和解法.
难点：字母系数的条件的运用和公式变形.
教学过程设计
一、导入新课
问：什么叫方程?什么叫一元一次方程?
答：含有未知数的等式叫做方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
例 解方程2x－1 3－10x+1 6=2x+1 4－1
解 去分母，方程两边都乘以12，得
4(2x－1)－2(10x+1)=3(2x+1)－12,
去括号，得
8x－4－20x－2=6x+3-12
移项，得
8x－20x－6x=3-12+4+2，
合并同类项，得
－18x=－3，
方程两边都除以－18，得
x=3 18 ,即 x=1 6.
二、新课
1.含字母系数的一元一次方程的解法.
我们把一元一次方程用一般的形式表示为
ax=b (a≠0),
其中x表示未知数，a和b是用字母表示的已知数，对未知数x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项.
如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做含有字母系数的一元一
次方程.
以后如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a，b，c等表示已知数，用x，y，z等表示未知数.
含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解
一元一次方程的步骤，最后转化为ax=b(a≠0)的形式.这里应注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(m－2)x=3,必须当m－2≠0时，即m≠2时，才有x=3 m－2 .这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别.
例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).
分析：这个方程中的字母a，b都是已知数，x是未知数，是一个含有字母系数的一元一次方程.这里给出的条件a≠b，是使方程有解的关键，在解方程的过程中要运用这个条件.
解 移项，得
ax－bx=a2－b2,
合并同类项，得
(a－b)x=a2－b2.
因为a≠b，所以a－b≠0.方程两边都除以a－b，得
x=a2－b2 a－b=(a+b)(a－b) a－b,
所以 x=a+b.
指出：
(1)题中给出a≠b，在解方程过程中，保证了用不等于零的式子a－b去除方程的两边后所得的方程的解是原方程的解；
(2)如果方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式.
例2 x－b a=2－x－a b(a+b≠0).
观察方程结构的特点，请说出解方程的思路.
答：这个方程中含有分式，可先去分母，把方程转化成含有字母系数的一元一次方程
的一般形式.在方程变形中，要应用已知条件a+b≠0.
解 去分母，方程两边都乘以ab得
b(x－b)=2ab－a(x－a),
去括号，得
bx－b2=2ab－ax+a2,
移项，得
ax+bx=a2+2ab+b2
合并同类项，得
(a+b)x=(a+b)2.
因为a+b≠0，所以x=a+b.
指出：ab≠0是一个隐含条件，这是因为字母a，b分别是方程中的两个分式的分母，因此a≠0,b≠0,所以ab≠0.
例3 解关于x的方程
a2+(x－1)ax+3a=6x+2(a≠2,a≠－3).
解 把方程变形为，得
a2x－a2+ax+3a=6x+2,
移项，合并同类项，得
a2x+ax－6x=a2－3a+2,
(a2+a－6)x=a2－3a+2,
(a+3)(a－2)x=(a－1)(a－2).
因为a≠2,a=－3，所以a+3≠0，a－2≠0.方程两边都除以(a+3)(a－2)，得
x=a－1 a+3.
2.公式变形.
在物理课中我们学习了很多物理公式，如果q表示燃烧值，m表示燃料的质量，那么完全燃烧这些燃料产生的热量W，三者之间的关系为W=qm，又如，用Q表示通过异体横截面的电量，用t表示时间，用I表示通过导体电流的大小，三者之间的关系为I=Qt.在这个公式中，如果用I和t来表示Q，也就是已知I和t，求Q，就得到Q=It；如果用I和Q来表示t，也就是已知I和Q，，求t，就得到t=QI.
像上面这样，把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形.
把公式中的某一个字母作为未知量，其它的字母作为已知量，求未知量，就是解含字母
系数数的方程.也就是说，公式变形实际就是解含有字母系数的方程.公式变形不但在数学，而且在物理和化学等学科中非常重要，我们要熟练掌握公式变形的技能.
例4 在公式υ=υo+at中，已知υ,υo,a，且a≠0，求t.
分析：已知υ，υo和a，求t，也就是把υ，υo和a作为已知量，解关于未知量t的字母系数的方程.
解 移项，得
υ－υ0=at.
因为a≠0，方程两边都除以a,得
t=υ－υo a.
例5 在梯形面积公式s=12(a+b)h中，已知a，b，h为正数.
(1)用s，a，b表示h；(2)用S,b,h表示a.
问：(1)和(2)中哪些是已知量?哪些是未知量；
答：（1）中S，a，b是已知量，h是未知量;(2)中s，b，h都是知已量，a是未知量.
解 (1)方程两边都乘以2，得
2s=(a+b)h.
因为a与b都是正数，所以a≠0，b≠0，即a+b≠0，方程两边都除以a+b，得
h=2sa+b.
(2)方程两边都乘以2，得
2s=(a+b)h,
整理，得
ah=2s－bh.
因为h为正数，所以h≠0，方程两边都除以h,得
a=2s－bh h.
指出：题是解关于h的方程，(a+b)可看作是未知量h的系数，在运算中(a+b)h不要展开.
三、课堂练习
1.解下列关于x的方程：
(1)3a+4x=7x－5b; (2)xa－b=xb－a(a≠b)；
(3)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2);
(4)ab+xa=xb－ba(a≠b);
(5)a2x+2=a(x+2)(a≠0,a≠1).
2.填空：
(1)已知y=rx+b r≠0,则x=_______;
(2)已知F=ma,a≠0，则m=_________;
(3)已知ax+by=c，a≠0，则x=_______.
3.以下公式中的字母都不等于零.
(1)求出公式m=pn+2中的n;
(2)已知xa+1b=1m，求x；
(3)在公式S=a+b2h中，求a;
(4)在公式S=υot+12t2x中，求x.
答案：
1.(1)x=3a+5b 3； (2)x=ab; (3)x=mn m+n; (4)x=a2+b2 a－b (5)x=2a.
2.(1)x=y－b r； (2)m=Fa; (3)x=c－by a.
3.(1)n=p－2m m; (2)x=ab－am bm; (3)a=2s－bh h;
(4)x=2s－2υott2.
四、小结
1.含字母系数的一元一次方程与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同，但应特别注意，用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子的值不能为零.我们所举的例题及课堂练习的题目中所给出的条件，都保证了这一点.
2.对于公式变形，首先要弄清公式中哪些是已知量，哪个是未知量.把已知量作为字
母系数，求未知量的过程就是解关于字母系数的方程的过程.
五、作业
1．解下列关于x的方程
(1)(m2+n2)x=m2－n2+2mnx(m－n≠0)；
(2)(x－a)2－(x－b)2=2a2－2b2 (a－b≠0);
(3)x+xm=m(m≠－1);
(4)xb+b=xa+a(a≠b);
(5)m+nx m+n=a+bx a+b(mb≠na).
2.在公式M=D－d 2l中，所有的字母都不等于零.
(1)已知M,l ,d求D； (2)已知M,l D,求d.
3.在公式S=12n[a1+(n－1)d]中，所有的字母都是正数，而且n为大于1的整数，求d.
答案：
1.(1)x=m+n m－n; (2)x=－a+b 2; (3)x=m2 m+1; (4)x=ab; (5)x=1.
2.(1)D=2lM+d; (2)d=D－2lM.
3.d=2S－na1 n(n－1).
课堂数学设计说明
1.学生对含有字母系数的方程的认识和解法以及公式变形，接受起来有一定困难.含字
母系数的方程与只含数字系数的方程的关系，是一般与特殊的关系，当含有字母系数的方程
中的字母给出特定的数字时，就是只含数字系数的方程.所以在教学设计中是从复习解只含
数字系数的一元一次方程入手，过渡到讨论含字母系数的一元一次方程的解法和公式变形，
体现了遵循学生从具体到抽象，从特殊到一般的思维方式和认识事物的规律.
2.在代数教学中应注意渗透推理因素.在解含有字母系数的一元一次方程和公式变形的过程中，引导学生注意所给题中的已知条件是什么，在方程变形中要正确运用题中的已知条件.如在解方程中，常用含有字母的式子乘(或除)方程的两边，并要论述如何根据已知条件，保证这个式子的值不等于零，从中有意识地训练和提高学生的逻辑推理能力，把代数运算和推理蜜切结合.
1. 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 2. 11x+64-2x=100-9x 3. 15-(8-5x)=7x+(4-3x)
4. 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 5. 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 6. 2(x-2)+2=x+1
7. 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 8. 30x-10(10-x)=100 9. 4(x+2)=5(x-2)
10. 120-4(x+5)=25 11. 15x+863-65x=54 12. 12.3(x-2)+1=x-(2x-1)
13. 11x+64-2x=100-9x 14. 14.59+x-25.31=0 15. x-48.32+78.51=80
16. 820-16x=45.5×8 17. (x-6)×7=2x 18. 3x+x=18
19. 0.8+3.2=7.2 20. 12.5-3x=6.5 21. 1.2(x-0.64)=0.54
22. x+12.5=3.5x 23. 8x-22.8=1.2 24. 50x+10=60
25. 60x-30=20 26. 20x+50=110 27. 2x=5x-3
28. 90=10+x 29. 90+20x=30 30. 691+3x=700
31 2x-10.3x=15 32 0.52x-(1-0.52)x=80 33 x/2+3x/2=7
34 3x+7=32-2x 35 3x+5(138-x)=540 36 3x-7(x-1)=3-2(x+3)
37 18x+3x-3=18-2(2x-1) 38 3(20-y)=6y-4(y-11) 39 -(x/4-1)=5
40 3[4(5y-1)-8]=6
很高兴为您解答：
一元一次方程：
1。7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1;
2.。(5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y);
3。20%+(1-20%)(320-x)=320×40%
4。2(x-2)+2=x+1
5。2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
6。x/3 -5 = (5-x)/2
7。2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1
8。(1/5)x +1 =(2x+1)/4
9。(5-2)/2 - (4+x)/3 =1
10。x/3 -1 = (1-x)/2
11。(x-2)/2 - (3x-2)/4 =-1
12。11x+64-2x=100-9x
13。15-(8-5x)=7x+(4-3x)
14。3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22
15。3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2
16。2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
17。11x+64-2x=100-9x
18。15-(8-5x)=7x+(4-3x)
19。3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22
20。3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2
21。2(x-2)+2=x+1
1。7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1
2。(5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y)
3。[ (- 2)-4 ]=x+2
4。20%+(1-20%)(320-x)=320×40%
5。2(x-2)+2=x+1
6。2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
7。11x+64-2x=100-9x
8。15-(8-5x)=7x+(4-3x)
9。3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22
10。3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2
11。5x+1-2x=3x-2
12。3y-4=2y+1
13。87X*13=5
14。7Z/93=41
15。15X+863-65X=54
16。58Y*55=27489
17。2（x+2）+4=9
18。2(x+4)=10
19。3(x-5)=18
20。4x+8=2(x-1)
21。3(x+3)=9+x
22。6(x/2+1)=12
23。9(x+6)=63
24。2+x=2(x-1/2)
25。8x+3(1-x)=-2
26。7+x-2(x-1)=1
27。x/3 -5 = (5-x)/2
28。2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1
29。(1/5)x +1 =(2x+1)/4
30。(5-2)/2 - (4+x)/3 =1
15x-8(5x+1.5)=18*1.25+x
3X+189=521
4Y+119=22
3X*189=5
8Z/6=458
3X+77=59
4Y-6985=81
87X*13=5
7Z/93=41
15X+863-65X=54
58Y*55=27489
1. 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
2. 11x+64-2x=100-9x
3. 15-(8-5x)=7x+(4-3x)
4. 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22
5. 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2
6. 2(x-2)+2=x+1
7. 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38
8. 30x-10(10-x)=100
9. 4(x+2)=5(x-2)
10. 120-4(x+5)=25
11. 15x+863-65x=54
12. 12.3(x-2)+1=x-(2x-1)
13. 11x+64-2x=100-9x
14. 14.59+x-25.31=0
15. x-48.32+78.51=80
16. 820-16x=45.5×8
17. (x-6)×7=2x
18. 3x+x=18
19. 0.8+3.2=7.2
20. 12.5-3x=6.5
21. 1.2(x-0.64)=0.54
22. x+12.5=3.5x
23. 8x-22.8=1.2
24. 1\ 50x+10=60
25. 2\ 60x-30=20
26. 3\ 3^20x+50=110
27. 4\ 2x=5x-3
28. 5\ 90=10+x
29. 6\ 90+20x=30
30. 7\ 691+3x=700
1 2x-10.3x=15
2 0.52x-(1-0.52)x=80
3 x/2+3x/2=7
4 3x+7=32-2x
5 3x+5(138-x)=540
6 3x-7(x-1)=3-2(x+3)
7 18x+3x-3=18-2(2x-1)
8 3(20-y)=6y-4(y-11)
9 -(x/4-1)=5
10 3[4(5y-1)-8]=6
应用题
1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．
根据题意，得 × +（ + ）x=1
解这个方程，得x=
=2小时12分
答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
由题意，得2×（9+x）=15+x
18+2x=15+x，2x-x=15-18
∴x=-3
答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米， ≈3.14）．
解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
•（ ）2x=300×300×80
x≈229.3
答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
4．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为 分．
过完第二铁桥所需的时间为 分． 依题意，可列出方程 + =
解方程x+50=2x-50 得x=100 ∴2x-50=2×100-50=150
答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．
5．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？
解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，
那么红色和白色配料分别为3x克和5x克． 根据题意，得2x+3x+5x=50
解这个方程，得x=5 于是2x=10，3x=15，5x=25
答：这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10克，15克和25克．
6．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．
解：设这一天有x名工人加工甲种零件，
则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个． 根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440
解得x=6 答：这一天有6名工人加工甲种零件．
7．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？
解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时，则 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x 解得x=90
所以0.36×90=32.40（元） 答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．
8．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25 50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35 50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+250×15=8750（元） 若选择（1）中的方案②，可获利
150×35+250×15=9000（元） 9000>8750 故为了获利最多，选择第二种方案．
9. 在一次区里举办的知识竞赛中，某校代表队的平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生高10%，而男生人数比女生人数多10%，问男、女生的平均成绩各是多少分？
设女生人数为x人，则男生为1.1x人
设男生平均分a分，则女生平均分为1.1a分最后祝您学业成功!
7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1;
解：去括号，得 14x-7-12x+3=12x +8-1
移项，得 14x-12x-12x=8-1+7-3
合并同类项，得 -10x=11
系数化为1，得 x= -1.1或负10分之11
题目写清楚呀。
答：(x-1)/3+1=(x+1)/2 4、4x-3(20-x)=6x-7(9-x) 5、5x-2=-7x+8 6、11x-3=2x+3 7、16=y/2+4 8、(4-3x)/7+(5x-3)/14=-(2x+3)/28+(5x-1)/11 9、mx-2=3x+n(m!=3) 10、3x-5=7x-11 11、2x+(5-3x)=15-(7-5x...
答：解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台． （1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25 50-x=25②当选购A，C两种电视...
答：7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1;(5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y);[ ( )-4 ]=x+2;20%+(1-20%)(320-x)=320×40 2(x-2)+2=x+1 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x)3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)...
答：5x-3x=7-3 2x=4 x=2 (2) 4x-2=8 4x=10 x=2.5
答：（7）解：15x-6=14x=16 x=16+6 x=22 （8）解：移项：6X-4X=5/4+3/4 合并同类项：2X=2 化系数为1：X=1 （9）解：去括号：1-1+t=-2 移项：t=-2-1+1 合并同类项：t=2 （10）解：去括号：1/2X-1/2-1/5X-2/5=1/3X-1 移项：1/2X-1/5X-1/3X=-1+1/2+2/...
答：15-(8-5x)=7x+(4-3x)15-8+5x=7x+4-3x 7+5x=4x+4 5x-4x=4-7 x=-3 祝学习进步，望采纳。不懂得欢迎追问。。。
答：122x+7=221 190x+7=18 88x+43=209 65x+49=18 193x+101=105 165x+97=217 183x+253=1 113x+97=66 240x+148=152 213x+145=9 234x+51=61 184x+191=205 147x+238=96 51x+99=57 75x+197=49 250x+89=209 177x+251=5 127x+135=149 91x+182=40 251x+42=1 225x+43=53 175x+183...
答：7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 去括号：14x-7-12x+3=12x+8-1 合并同类项：10x=-11 系数化为1：x=-1.1
答：方法一：s/8+7.5/60=(s+3)/9,的s=15，去路程15，回程18 方法二：7又2分之1分钟为1/8小时 解：设甲地到乙地路程为x (x+3)/9-1/8=x/8 x=15 返回路程为18km 小明和小红从东西俩地同时出发，相向而行，两地相距100千米，小明每小时走6千米，小红每小时走4千米。小明带了一只小狗一...
答：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m± . 2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c 将二次项系数化为1:x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2= 当b2-...
