连续时间信号的采样

采样信号的频谱是原连续时间信号的频谱的周期性的复制（当然要保证采样满足奈奎斯特定理）。若采样周期为F，则采样后信号的频谱变成周期的了，周期为F，幅值变为原来的F倍，一个周期的形状和连续信号时的频谱一样。
那么采样后离散信号的频谱应该[在满足采样定理] 能反映出，原模拟信号的频谱，否则采样是没有意义的。采样后频谱是，原频谱的周期延拓，实际中需要将原来的高于有用频率的分量尽量滤除，增大采样频率来减少频谱的混叠。

扩展资料：
采样也称抽样，是信号在时间上的离散化，即按照一定时间间隔△t在模拟信号x(t)上逐点采取其瞬时值。它是通过采样脉冲和模拟信号相乘来实现的。
采样间隔的选择和信号混淆：对模拟信号采样首先要确定采样间隔。如何合理选择△t涉及到许多需要考虑的技术因素。一般而言，采样频率越高，采样点数就越密，所得离散信号就越逼近于原信号。
但过高的采样频率并不可取，对固定长度(T)的信号，采集到过大的数据量(N=T/△t)，给计算机增加不必要的计算工作量和存储空间;若数据量(N)限定，则采样时间过短，会导致一些数据信息被排斥在外。
参考资料来源：百度百科-采样信号

若采样周期为F，则采样后信号的频谱变成周期的了，周期为F，幅值变为原来的F倍，一个周期的形状和连续信号时的频谱一样。

1.连续信号的离散化

工程中的许多信号都是连续信号，设为x(t)。但是用计算机处理这些信号，必须首先对连续信号采样，即按一定的时间间隔Δt进行采样，得到离散时间信号x(nΔt)(n=…，-2，-1，0，1，2，…)。我们称Δt为采样间隔(或抽样间隔)，称x(nΔt)为离散信号，它是连续信号在离散时间上的采样，因此是时间上的不连续序列。例如连续信号为

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则相应的离散信号为

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离散信号x(nΔt)是从连续信号x(t)上取出的一部分值，因此，离散信号x(nΔt)与连续信号x(t)的关系是局部与整体的关系。但一般不能由x(nΔt)唯一确定或恢复出连续信号x(t)，因为连接两个点x(nΔt)与x［(n+1)Δt］的曲线是很多的，所以由x(nΔt)可以给出许多连续信号。在一定条件下，离散信号可以按一定方式恢复出原来的连续信号x(t)，这就是采样定理要讨论的内容。

2.理想采样过程的数学描述

理想采样情况下，采样序列将表示为一个冲击函数的序列，理想采样可以看成是对冲击脉冲载波的调幅过程，如图4-1-1所示。

如果以M(t)表示这个冲击脉冲载波，则有

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其中

将式( 4-1-2) 代入式( 4-1-1) 得

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图4-1-1 理想采样

因为δ(t-nΔt)只在t=n-Δt时非零，因此式(4-1-3)又可写成

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这实际是一个离散褶积和公式，即理想采样是连续信号在各采样瞬间的值同相应时间延迟的冲击函数褶积之和。

由 可以构成一个相应的样本序列 与x(n)的差别在于 在某种意义上还是连续时间信号，即一个冲击串函数，它只在整数倍Δt瞬间时刻有值，除此以外都为零，而序列x(n)是以整数n变量给出的。n本身没有任何采样率的信息， 的一个样本x(n)中是用有限数值来表示的，而不是在 中用冲击函数的面积表示的。

3.采样信号的频域表示

为了说明连续信号理想采样后，信号频谱是否发生了变化，信息有没有丢失，以及怎样从理想信号恢复出原来的连续信号，有必要讨论一下理想采样信号的频域表示。一个连续信号x_a(t)的频谱函数已知为:

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其中Ω表示模拟(或连续)频率，为与以后将要讲到的数字(或离散)频率相区别，将此连续信号作理想采样后， 的频谱函数则为:

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其中M(t)为一连串的冲击脉冲。通常采样间隔是相同的，即Δt为一常数。因此理想采样脉冲M(t)是一个以Δt为周期的周期函数，它可以展成傅立叶级数:

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其中基频Ω_s=2π/Δt，也称为采样频率。系数c_m由下式确定

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将(4-1-2)代入(4-1-8)得

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因为在一个周期 内，只有一个冲击脉冲δ(t)，其他冲击脉冲δ(t-nΔt)，当n≠0时都在积分区间以外，因此c_m又可写成

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于是将(4-1-10)代入(4-1-7)

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式(4-1-11)说明，冲击脉冲序列的谱，具有梳妆结构:即它的各次谐波，都具有相等的幅度1/Δt，如图4-1-2所示。

将式(4-1-11)代入(4-1-6)得

图4-1-2 冲击脉冲序列的谱———梳妆谱

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由式(4-1-5)可知，

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因此，

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式(4-1-12)表明，一个连续信号经过理想采样后，其频谱变成以采样频率Ω_s=2π/Δt为周期的函数。Δt是采样周期，其频谱将顺着频率轴，从m=0开始，向两边以Ω_s为周期作周期开拓，其幅度为原连续信号幅度的1/Δt倍。

这也可从脉冲调幅角度来解释。由于理想冲击脉冲序列M(t)具有相等大小1/Δt的各次谐波分量，当它被连续信号x_a(t)调幅以后，x_a(t)的谱就被调制到M(t)的各次谐波上，出现基带频谱的搬移，周期性重复的频谱 正是这些调制频谱的总和，这就是所谓的频谱产生周期延拓图4-1-3。每一个延拓的频谱分量都和原始连续信号的频谱相同。

图4-1-3 频谱的周期延拓

在理想采样后的频谱表达式(4-1-12)中，只要各延拓分量沿频率轴不发生交叠，即原始信号x_a(t)的频谱X_a(Ω)在以Ω_s为间隔重复时不发生混叠。当它们按式(4-1-12)进行相加时，在每一个整数倍的Ω_s上，仍然保持一个与X_a(Ω)完全一样的复本，这样就有可能恢复原始的连续时间信号。

显然，只要x_a(t)是带限信号，即它的最高频谱分量不超过Ω_s/2，其频谱可以表示成

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那么原始信号的频谱和各次延拓分量的频谱在频率轴上彼此不重叠，如图4-1-4。如果我们采用一个截止频率为Ω_s/2的理想低通滤波器H(Ω)，让H(Ω)和 相乘，就可以得到不失真的原始信号频谱，这样就可以不失真的重构原始连续时间信号。

图4-1-4 频谱的周期延拓无混叠

图4-1-5 频谱的周期延拓混叠

如果连续时间信号的频谱分量的最高频率Ω_c超过Ω_s/2，那么各周期延拓分量在频率轴上将产生频谱的混叠现象，如图4-1-5所示。实际上Ω_s/2就如同一面镜子，信号频谱的频率超过它时，就会造成频谱的混叠。因此一个频谱带宽为无限的连续信号是不能够采样的，因其不能重构出原始信号。因此如何采样才能不失真的重构原始信号是采样定理提出的基础。