(2013?齐河县一模)如图,正方形ABCD中,E是BC边上一点,以E为圆心,EC为半径的半圆与以A为圆心,AB为半

kuaidi.ping-jia.net  作者:佚名   更新日期:2024-07-27
(2012?杨浦区二模)如图,正方形ABCD中,E是BC边上一点,以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心,AB为半

过E作EF⊥AD,交AD于点F,如图所示:可得∠EFA=90°,设EC=x,AB=y,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB=BC=CD=y,∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°,∴DFEC为矩形,∴EF=DC=y,AF=AD-DF=AD-CE=y-x,∵圆E与圆A外切,∴AE=x+y,在Rt△AEF中,根据勾股定理得:AE2=EF2+AF2,即(x+y)2=y2+(y-x)2,整理得:y=4x,即x=14y,∴S梯形ADCE=12(EC+AD)?CD=12y(x+y)=58y2,S正方形ABCD=y2,则S四边形ADCE:S正方形ABCD=58y2:y2=58.故答案为:58.

设正方形ABCD的边长为1,⊙E的半径为x,即⊙A的半径为1,结合题意,在Rt△ABE中,AB=1,AE=1+x,BE=1-x;故有(1+x)2=(1-x)2+1;解得x=14,即BE=34,所以cot∠EAB=43.故答案为43.

如图,设以AB为半径的圆弧的半径为R,以E为圆心的半圆的半径为r,
则AB=R,AE=R+r,BE=R-r,
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2
即(R+r)2=R2+(R-r)2
整理的R=4r,
∴BE=R-r=4r-r=3r,
tan∠EAB=
BE
AB
=
3r
4r
=
3
4

故选C.

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