二元函数的极限及其连续性
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-21
二元函数的极限及其连续性
在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x 与y 趋向于有限值ξ与η时，函数z 的变化状态。
在平面xOy 上，(x,y)趋向(ξ, η) 的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ, η) 时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A ，
那末就称A 是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ, η) 时的极限。
这种极限通常称为二重极限。
下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：
二重极限的定义
如果定义于(ξ, η) 的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A 有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足
的一切(x,y)都使不等式
成立，
那末常数A 称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ, η) 时的二重极限。
正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：
二重极限的运算法则
如果当（x,y)→(ξ, η) 时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.
那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；
(2)：f(x,y)g(x,y)→AB ；
(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0
像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性
如果当点(x,y)趋向点(x0,y 0) 时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y 0) 处. .
的函数值f(x0,y 0) ，那末称函数f(x,y)在点(x0,y 0) 处连续. 如果f(x,y)在区域D 的每一点都连续，那末称它在区域D 连续。
如果函数z=f(x,y)在(x0,y 0) 不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y 0) 是f(x,y)的一个间断点。
关于二元函数间断的问题
二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。
二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。 例题：
求下面函数的间断线
解答：x=0与y=0都是函数的间断线。
二元函数的极限及其连续性_函数的极限和连续性
答：像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性 如果当点(x,y)趋向点(x0,y 0) 时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y 0) 处. .的函数值f(x0,y 0) ，那末称函数f(x,y)在点(x0,y 0) 处连续. 如果f(x,y)在区域D 的每一点都...
二元函数的极限和连续
答：解：不一定。根据二元函数极限的定义知，是以任意方式趋于某个点时极限存在，则二元函数的极限存在，若y=x^2,x趋于0，f(x,y)=A，它是以y=x^2的路径趋于（0,0）时，极限为A。但不能说明任意方式趋于（0,0）时，极限为A。谢谢！
二元函数极限存在一定连续嘛
答：1. 二元函数极限存在，函数不一定连续。2. 结论：二元函数连续，则函数极限一定存在。极限存在，不一定连续。3. 关于二元函数极限存在一定连续，其例子见上图。这个例子说明，函数在（0,0)点极限存在，但不连续。只有极限值等于函数值时，函数连续。
二元函数的极限,连续,导数
答：1.设y=kx，代入得：f(x,y)=k/(1+k^2)，当y=kx→0时，不确定，在（0,0）点是无极限，不连续，不 可导 。（可导什么意思？二元函数 呀）2.f(x,y)在（0,0）点极限是0，连续。不可导。（可导什么意思？二元函数呀）
什么是二元函数连续性?
答：二元函数的连续性是指在定义域内二元函数的各个点上，函数值与点的极限存在并相等的性质。换句话说，如果二元函数在某一点处连续，那么该点的邻近点都可以通过取极限得到与该点相等的函数值。对于二元函数来说，连续性的定义有以下几个方面：1、函数定义域的连续性：首先，二元函数的定义域必须是一个...
二元函数的极限怎么求
答：多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：例如：1.lim(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²= lim(u->0) sinu / u = 1 2.f(x,y) = x²y / (x²+y²)∵ | x²...
讨论二元函数的连续性
答：解：令y=kx代入得：(x^2 — y^2)/(x^2+y^2)=（1-kk)/(1+kk)，当k=0,1时，极限为1,0，故 f(x,y)=(x^2 — y^2)/(x^2+y^2) 当（x,y)趋于（0,0）极限不存在，故不连续
二元函数如何求极限呢?
答：4、注意函数的连续性：如果二元函数在某个点处连续，则其极限值与该点的函数值相等；否则，需要进一步计算极限值。5、熟练掌握极限计算方法：计算二元函数的极限需要熟练掌握一些极限计算方法，如洛必达法则、夹逼定理、特殊极限等方法，以便更容易计算极限。6、计算过程要准确无误：在计算二元函数的极限时...
关于二元函数
答：二元函数的连续性只需考察间断点处，因为在定义域内初等函数都是连续的，对于间断点(x0,y0)，用定义考察其连续性，也就是证(x,y)趋于(x0,y0)时limf(x,y)=f(x0,y0)。偏导数是否存在也是用定义验证的，以对x的偏导为例，按定义求(x0,y0)处的偏导数，即求x趋于x0时lim[f(x,y0)-f(...
二元函数,二重极限不存在和连续性问题
答：连续是 指x,y沿着任意方式趋近x0,y0时，极限值总是等于x0,y0点对应的函数值，那么函数在x0,y0点处连续。从某一特殊路径趋近x0,y0时，极限值和函数值相等，只能说明函数在该路径上连续不能说明任何路径都连续。
在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x 与y 趋向于有限值ξ与η时，函数z 的变化状态。
在平面xOy 上，(x,y)趋向(ξ, η) 的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ, η) 时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A ，
那末就称A 是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ, η) 时的极限。
这种极限通常称为二重极限。
下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：
二重极限的定义
如果定义于(ξ, η) 的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A 有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足
的一切(x,y)都使不等式
成立，
那末常数A 称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ, η) 时的二重极限。
正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：
二重极限的运算法则
如果当（x,y)→(ξ, η) 时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.
那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；
(2)：f(x,y)g(x,y)→AB ；
(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0
像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性
如果当点(x,y)趋向点(x0,y 0) 时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y 0) 处. .
的函数值f(x0,y 0) ，那末称函数f(x,y)在点(x0,y 0) 处连续. 如果f(x,y)在区域D 的每一点都连续，那末称它在区域D 连续。
如果函数z=f(x,y)在(x0,y 0) 不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y 0) 是f(x,y)的一个间断点。
关于二元函数间断的问题
二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。
二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。 例题：
求下面函数的间断线
解答：x=0与y=0都是函数的间断线。
简单分析一下，详情如图所示
答：像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性 如果当点(x,y)趋向点(x0,y 0) 时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y 0) 处. .的函数值f(x0,y 0) ，那末称函数f(x,y)在点(x0,y 0) 处连续. 如果f(x,y)在区域D 的每一点都...
答：解：不一定。根据二元函数极限的定义知，是以任意方式趋于某个点时极限存在，则二元函数的极限存在，若y=x^2,x趋于0，f(x,y)=A，它是以y=x^2的路径趋于（0,0）时，极限为A。但不能说明任意方式趋于（0,0）时，极限为A。谢谢！
答：1. 二元函数极限存在，函数不一定连续。2. 结论：二元函数连续，则函数极限一定存在。极限存在，不一定连续。3. 关于二元函数极限存在一定连续，其例子见上图。这个例子说明，函数在（0,0)点极限存在，但不连续。只有极限值等于函数值时，函数连续。
答：1.设y=kx，代入得：f(x,y)=k/(1+k^2)，当y=kx→0时，不确定，在（0,0）点是无极限，不连续，不 可导 。（可导什么意思？二元函数 呀）2.f(x,y)在（0,0）点极限是0，连续。不可导。（可导什么意思？二元函数呀）
答：二元函数的连续性是指在定义域内二元函数的各个点上，函数值与点的极限存在并相等的性质。换句话说，如果二元函数在某一点处连续，那么该点的邻近点都可以通过取极限得到与该点相等的函数值。对于二元函数来说，连续性的定义有以下几个方面：1、函数定义域的连续性：首先，二元函数的定义域必须是一个...
答：多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：例如：1.lim(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²= lim(u->0) sinu / u = 1 2.f(x,y) = x²y / (x²+y²)∵ | x²...
答：解：令y=kx代入得：(x^2 — y^2)/(x^2+y^2)=（1-kk)/(1+kk)，当k=0,1时，极限为1,0，故 f(x,y)=(x^2 — y^2)/(x^2+y^2) 当（x,y)趋于（0,0）极限不存在，故不连续
答：4、注意函数的连续性：如果二元函数在某个点处连续，则其极限值与该点的函数值相等；否则，需要进一步计算极限值。5、熟练掌握极限计算方法：计算二元函数的极限需要熟练掌握一些极限计算方法，如洛必达法则、夹逼定理、特殊极限等方法，以便更容易计算极限。6、计算过程要准确无误：在计算二元函数的极限时...
答：二元函数的连续性只需考察间断点处，因为在定义域内初等函数都是连续的，对于间断点(x0,y0)，用定义考察其连续性，也就是证(x,y)趋于(x0,y0)时limf(x,y)=f(x0,y0)。偏导数是否存在也是用定义验证的，以对x的偏导为例，按定义求(x0,y0)处的偏导数，即求x趋于x0时lim[f(x,y0)-f(...
答：连续是 指x,y沿着任意方式趋近x0,y0时，极限值总是等于x0,y0点对应的函数值，那么函数在x0,y0点处连续。从某一特殊路径趋近x0,y0时，极限值和函数值相等，只能说明函数在该路径上连续不能说明任何路径都连续。
