如何在初中数学课中进行变式教学
变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。
一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。
从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。
通过对式子的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。
数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。
通过变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。
三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。
（一）多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。
许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。
（二）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。
一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。
（三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。
通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。
伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。
譬如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。
又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。
例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师从奥运冠军孟关良训练为题材编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？然后教师可对本例作以下变式。
变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）
变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题
现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发
（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。
（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。
（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。
这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。
变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？
这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。
（三）一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力。
牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。
教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。
总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。
一、如何在数学教学中进行变式训练
运用变式的处理策略能帮助学生巩固基础知识，掌握基本技能，提高分析问题、解决问题的能力，进而帮助学生减轻课业负担，帮助教师提高课堂教学效率。
1．在解题教学中适当应用变式，帮助学生培养思维的发散性
题海战术往往是“以多胜少”“就题论题”，学生在长期的题海训练中会身心疲惫，逐渐步入“低效率、重负担、低质量”的恶性循环中，从而渐渐失去对数学的学习兴趣与动力。变式教学恰好克服了这些缺点，其借助于变式设问、变位思考、命题变换等引导学生学会归纳和类比，做到方法归纳，题目归类，有效地克服学生思维的肤浅性、盲目性和狭隘性等，而且能开拓解题思路，培养探索意识，从而达到举一反三、触类旁通的效果。
2．在形成数学概念的过程中，利用变式培养学生正确概括的思维能力
从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析及概括能力。
3．利用变式教学，准确理解定理、公式和性质，培养学生多向变通的思维能力
掌握定理、公式和性质的关键在于理解定理、公式和概念的联系，数学中的定理、公式和性质的实质上是人们对于概念之间存在的本质联系的概括。知识的传授是一个启发学生自己思考，从而获得知识的探索过程，从这一意义上看，学习活动不仅是由认知和情感共同参与的过程，也是一个知识“再发现”或“重新发现”的过程。因此教学中可利用变式教学，培养学生辨析与定理和公式有关的判断。
二、数学教学方法
1．教学组织要有效
有效的课堂组织教学，是建立良好的教学秩序、构建有效的学习环境、提高教学质量的基础。首先，导入是一节课的“序幕”，直接影响着学生的求知欲望和学习兴趣。我们常说好的导入能激发学生的求知欲，还可激活学生的思维。教师在教学新课之前可以先让学生“碰碰壁”，引起学生认知的冲突和矛盾来激发好奇心，为学习新知提供“心理需要”的准备。学生们皱眉凝思，积极思考，于是在急迫想知道“究竟”的心理下进入了探究学习阶段，求知欲望非常强烈。其次，课堂结构的组织要充分发挥教学民主，使学生真正成为学习主体，积极引导学生独立思考，让学生主动参与到知识形成的过程。要允许学生尝试、出差错，然后自行解决错误，努力营造一种民主、和谐、宽松的课堂环境。在这个环节中，教师始终不发表自己的意见，放手让学生展开讨论、尝试，最后学生自己发现规律，可以说是一种创新思维的表现。这就显示了自主学习的优点，如果教师加以因势利导，则必然大大激发学生的创新思维。所以教师在组织课堂教学时，要随时调整学生的学习状态，引导学生集中到学习中来。
2．多媒体课件运用和板书设计书写要有效
现代教育技术手段由于其直观性、能动性、交互性等在教学中带来了极大的方便，有效地激发了学生的学习兴趣，促进了学生认知主体的发挥，在教学环境的创设、教学过程的辅助等方面都发挥了巨大的作用。在数学课堂教学中，越来越多的教师更新了教学观念，现代教育技术手段已逐渐地进入了数学课堂。好的多媒体课件的运用，能够为数学教学锦上添花。数学教学中多媒体的运用对于学生学习数学起到了画龙点睛之举，实现了学生对数学知识从感性理解到理性理解的质的飞跃。
当前，由于多媒体的广泛运用，越来越多的教师忽略了板书书写。实际上，板书是最常用的教学手段之一。好的数学板书是一节课教学内容的浓缩，板书的内容往往提纲挈领、言简意赅，有助于学生理解相关内容，也便于学生掌握方法和课后复习。 因此，适时的多媒体课件的运用和适当的板书书写也是提高课堂有效教学的必要途径之一。
三、数学思维训练
1．营造自由活跃的课堂环境
一个好的环境能塑造一个人的性格和思维，性格能决定成败。现代心理学研究表明，如果学习者在学习中保持愉快和轻松的心情，对发挥他们的主动性和创造性有重要作用，达到有意识和无意识的统一，释放强大的学习潜能，因此，塑造一个适合学生思维能力的教学环境显得尤为关键。而传统的小学数学教学模式是由教师强制性的灌输知识给学生、学生被动接受，这种填鸭式的教学方式存在很多弊端，一来不利于培养学生的学习兴趣，会使学生对学习产生抵触情绪，二来严重阻碍了学生独立思考和创新思维能力的培养。
在小学数学教学中，教师要把学生当做学习的主人，营造一个平等、民主、和谐、自由轻松的教学环境，在课堂上，教师要改变“一言堂”、“满堂灌”的弊病，不要照本宣科，要多提问、多引导、多反思，多给学生思考的时间，让学生能从多角度、全方位地思考题目， 同时，教师要尊重学生的不同想法，对那些富有“创新性”想法的同学要加以表扬。保护学生自由想象和思考的自由性和积极性，让每个学生都有机会发言，并且都敢于发言，让他们享受在这种轻松而自由的教学环境中并充分发挥创新思维能力，感受到老师对他们的创新思维的积极性和“创新成果”的尊重。
2．巧妙设疑，鼓励求异，培养学生的创新思维能力
陶行知先生说过：“发明千千万万，起点是一问。”问题是数学的心脏。学生学习数学的过程就是在老师的引导下发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。要提高学生的创新能力，教师必须努力培养学生的问题意识和善于观察问题、发现问题和提出问题的能力。现行课标教材为培养学生问题意识和观察问题、发现问题、提出问题的能力做出了很大的努力，在课本中专门设置了大量的主题图，为教师的课堂教学提供了很多很好的例子，教师在小学数学教学中要充分利用。
例如，在教完“三角形的内角和”这一内容后，提出了如下问题让学生思考：四边形的内角和是多少？五边形的内角和是多少？六边形的内角和是多少？n边形的内角和是多少？这些有思考价值的问题，引发了学生实践、探究、讨论的热情，收到了良好的效果。因此教师在小学数学教学中，应力求打破常规，引导学生从多方面去思考问题，注意培养学生一题多解、一题多思、一题多变、举一反三的创新思维能力。
四、学习数学兴趣的培养
1．导入新颖，唤起兴趣
教师对新知的导入，要根据内容设置问题悬念，努力创设新、奇、疑、谜等的心理情境和问题氛围，诱发学生探究欲望。
如教学“分数基本性质”时，这样设计：唐僧四师徒分一个西瓜，唐僧分得1/4，孙悟空分4/16，沙僧分得3/12，猪八戒分得2/8。猪八戒心里很不高兴，怪师傅有偏心，给自己分少了，给大师兄分多……通过创设这样的情境，学生对问题的质疑与争论是越演越烈，学生揭开谜底的强烈欲望油然而生，为新知的学习铺垫了兴趣的基础。
2．巧设活动，运用合作，强化学习兴趣
根据小学生好奇、好动、好强、好胜的心理特征，巧妙设计一些有趣的游戏和一些数学活动，让他们在参与游戏或活动中你追我赶、力争上游，既能快速达到教学目标，又能活跃学习气氛，使学生在游戏活动中学习兴趣得到强化。如：开展“夺红旗”“找朋友”“小小神算”等游戏，使枯燥乏味的加、减、乘、除的计算题变得生动、有趣。还可以开展数学活动，如“数学广角”“数学乐园”“小小商店”及校外数学实践等。同时，在游戏或活动中教师要充分挖掘合作的学习方式，使成员之间相互支持、相互帮助。尤其是成绩不够出色的，在竞争环境下很难取得成功的学生，在合作学习中，会使他们感到小组的成功也有自己的一份努力，增强他们学习的信心和兴趣。
3．适时点拨，激发兴趣
新知教学要在导入新颖的基础上巧妙进行，让学生参与探究新知的认识与理解的全过程，充分发挥学生的主体作用，做到人人动手、动脑、动口，让学生自我发现新知，认识新知，使学生亲身体验到获得新知过程的乐趣。
如教学 “分数基本性质”导入环节后，教师就因势利导让学生折学具来验证、比较1/4、4/16、3/12和2/8的大小。在学生验证了这些分数的大小相等后，顺势将“1/4＝4/16＝3/12＝2/8”掷出，让学生组内观察分子、分母各自的变化情况，通过组内讨论、猜想，再在全班上汇报结论，形成知识。这样，有助于学生“活学”“乐学”这一良好品质的养成。
一、递进变异
递进变异是指题目由特殊到一般的变异，而解题需要的基础知识保持不变。一是题目的条件由特殊到一般，由简单到复杂变异，这样可形成递进式变式题组。递进式变式题组是指在课堂教学中，为了达到某一教学目的，根据学生的认知规律，合理、有效地设计一组数学问题，且这组数学问题又有一定的内在逻辑联系，即前一个问题是后一个问题的特殊情况，后一个问题是前一个问题的一般的、情况，这样由特殊到一般的题目组合称为递进式变式题组。这种递进式变式题组，层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋式上升，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握解题规律、突破教学难点。二是在解题的一般规律不变的情况下，通过变化非本质属性，有利于学生从中分离出一般的规律。三是有利于不同层次的学生。由于问题由简单到复杂，可使不同层次的学生顺着台阶一步步的往上爬，并从中掌握一般规律。例如，在“分式”的教学中，设计如下作业。
案例1：
以上三道题，分式的分子由x-3，变式为
，分子为0的条件不断增加。分母由2x-1变式为x-3，使得出现分子为0时，分母为0的情况。三道题目各不相同，均有差异，但其解题的本质是分式值为0的条件，分子为0而分母不为0，通过这样有层次的三道题目，既可以使学生发现解题的本质，又可使不同的学生找到自己的解题切入点，从而有利于不同层次的学生总结出解题的规律，形成对此类问题完整的数学认知结构。
二、讨论变异
讨论变异是指题目的变异向着需要分类讨论的方向变异。一是数学概念是思维的细胞，是思维的基本单位。数学概念是数学教学的核心，是构成判断、推理的要素，概念明确是思维合乎逻辑的基本要求。因而对概念的理解直接影响学生的数学思维能力。二是数学概念本身是陈述性知识，但如果运用概念解题，就属于程序性知识，在解题教学中，学生才能理解概念的本质。三是通过分类讨论使学生理解概念的本质。例如，对一元一次方程概念的理解，设计如下作业。
案例2：
三、背景变异
背景变异是指问题的背景变异，而解决问题的方法不变。同一类问题，当背景发生变化时，其解题的方法不变.一是有利于学生从中发现解题的一般规律. 二是有利于提高学生的概括能力。学生要从不同的背景题目中，总结、概括出一般的规律，需要一定的思维操作. 三是有利于学生扩大类比迁移的范围。例如，在找规律问题中，运用背景变异设计如下作业。
案例3：
（1）如图1，观察图形，并填写表1.
问题变异是指问题不同，但解决问题所依据的数学方法是相同的。数学来源于生活，生活中很多问题均可转化为方程问题。著名数学家笛卡儿曾设想一个解决所有问题的通用方法，首先将任何问题转化为数学问题，然后将数学问题转化为代数问题，最后将任何代数问题化归为方程问题。要使学生掌握一类问题的解决方法，通过所要解决具体问题的不同，以使学生从中概括出解决问题的基本数学方法. 既有利于提高学生的概括能力，又可使学生形成解决某类问题的问题域. 同时，由于问题的不断变异，又可使学生明确与其他类问题的关系，这样可使学生形成的数学认知结构科学合理，也就是形成CPFS结构. 我国学者研究表明，CPFS结构是一个科学合理的数学认知结构，可提高学生的数学认知能力。例如，在二元一次方程组应用的教学中，设计如下变异作业。
五、图形变异
图形变异是指图形是不同的，但从图形中分离出来的基本图形是相同的。一是数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学. 因为空间形式的复杂性，人类不可能把所有图形的性质都认识清楚。但人们发现，很多复杂的图形是由基本图形组合而成，把复杂图形的问题转化为基本图形的问题来解决是人类智慧的结晶。因此，基本图形的性质，以及如何从复杂图形中分离出基本图形是要求学生必须进行重点表征的。初中几何知识中，有很多基本图形，如相似形中的A字型、8字型、一线三等角、子母三角形等，这些基本图形的识别与性质的灵活运用是学生解决复杂问题的思维载体。通过图形的变异，但组成图形的基本图形不变，有利于提高学生从复杂图形中分离出基本图形的能力。有利于提高学生运用基本图形解决问题的能力。例如在“相似三角形的判定“的教学中有一类特殊的一线三等角的问题，设计如下变异作业。
六、几点思考
第一，基于变异理论进行变式教学，题目的变异要围绕不变的本质而展开。变异的目的是要学生通过几个实例发现并总结、归纳出解决问题的一般性原理（规律）. 因此，在进行变异时，首先要明确问题的本质，然后围绕问题的本质不变，变化非本质属性，以突出问题的本质属性，使此类问题的一般性原理凸出出来。
第二，重复有利于提高学生数学知识的记忆强度。变异是在本质不变的情况下展开的，也就是说学生解答此类问题运用的思想方法是相同的. 因此，学生要重复使用相同的原理解答题目，是一种重复的思维活动。认知心理学的研究表明，重复可以增强学生对知识的记忆，能够使长时记忆中的记忆强度增加，即记忆的痕迹大，这样在学生解答其他问题时，便于从长时记忆中提取需要迁移的信息，从而提高分析问题和解决问题的能力。
第三，变异有利于不同层次学生发现并总结掌握问题的一般原理。学生之间的差异是客观存在的，不同的学生其解决问题的能力，以及归纳、概括的能力是不同的. 因此，在进行题目变异时，要使题目有一定的梯度，也就是要递进式变异，由简单到复杂，从而使不同层次的学生都能够从中分析并发现一般性的原理。
变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力
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