应力和应变的关系

根据胡克定律在一定的比例极限范围内应力与应变成线性比例关系。对应的最大应力称为比例极限。

应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
拓展资料

胡克定律（Hooke's law），又译为虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变（单位变形量）之间成线性关系。满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型（英文Hookean）材料。
胡克定律的表达式为F=k·x或△F=k·Δx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。

一、应力
所谓“应力”是在施加的外力的影响下物体内部产生的力。如图1所示在圆柱体的项部向其垂直施加外力P的时候物体为了保持原形在内部产生抵抗外力的力——内力。该内力被物体这里是单位圆柱体的截面积所除后得到的值即是“应力”或者简单地可概括为单位截面积上的内力单位为Pa帕斯卡或N/m2。例如圆柱体截面积为A(m2),所受外力为P(N牛顿)由外力=内力可得应力:
σ=P/A（Pa或者N/m2）
这里的截面积A与外力的方向垂直所以得到的应力叫做垂直应力。
二、应变
当单位圆柱体被拉伸的时候会产生伸长变形ΔL那么圆柱体的长度则变为L+ΔL。这里由伸长量ΔL和原长L的比值所表示的伸长率或压缩率就叫做“应变”记为ε。
ε=△L/L
与外力同方向的伸长(或压缩)方向上的应变称为“轴向应变”。应变表示的是伸长率或压缩率属于无量纲数没有单位。由于量值很小(1×10-6百万分之一)通常单位用“微应变”表示或简单地用μE表示。而单位圆柱体在被拉伸的状态下变长的同时也会变细。直径为d0的棒产生Δd的变形时直径方向的应变如下式所示
ε2=-△d/d0
这种与外力成直角方向上的应变称为“横向应变”。轴向应变与横向应变的比称为泊松比记为υ。每种材料都有其固定的泊松比且大部分材料的泊松比都在0.3左右。
υ=|ε2/ε1|=0.3
三、应力与应变的关系
各种材料的应变与应力的关系已经通过实验进行了测定。图2所示为一种普通钢材软铁的应力与应变关系图。根据胡克定律在一定的比例极限范围内应力与应变成线性比例关系。对应的最大应力称为比例极限。
应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量不同的材料有其固定的扬氏模量。综上所述虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。

现在，建立应力张量(1-1)和应变张量(1-6)之间的关系。对于弹性固体，虎克定律指出:在任一点处的应变与作用于该点的应力成正比。我们首先考虑在拉伸主应力τ_xx、τ_yy和τ_zz作用下的一个体积(图1-1)。应力—应变关系被写成

地震勘探

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这里E和ν是与材料的性质有关的比例常数，分别被称为杨氏模量(弹性模量)和泊松比。

考虑受到x方向纵向拉伸的一个圆柱杆。所有的其他应力是零，则引起在y方向的横向压缩。从方程(1-10a)可见，杨氏模量是纵向应力xx与纵向应变e_xx之比。把τ_xx从方程(1-10a)代入方程(1-10b)，并注意到泊松比是应变分量e_yy定义的横向收缩量与由应变分量e_xx定义的纵向伸长量之比。因为应变是量纲为一的量，杨氏模量有应力的量纲，而泊松比量纲亦为一。

同方程(1-10)，应力—应变关系还有:

地震勘探

综合方程(1-10)、(1-11)和(1-12)，重新写出主应力—应变关系为

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改写方程(1-13)，得

地震勘探

把它们相加，得

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参考图1-1，如果未产生应变，体积是(δxδyδz)，应变后的体积是(δx+δu)(δy+δv)(δz+δw)，则体积的相对变化Δ是:Δ=［(δx+δu)(δy+δv)(δz+δw)-(δxδyδz)］/(δxδyδz)。忽略上述比值中的高阶项并参考由方程(1-3)给出的主应变分量的定义，我们发现，在体积变为无限小的极限情况下体积的相对变化或者膨胀系数Δ由下式

地震勘探

给出。把它代入方程(1-15)，有

地震勘探

最后，把关系(1-16)和(1-17)代入方程(1-13)，得到主应力分量和主应变分量之间的关系:

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这里λ和μ是固体的弹性常数，亦称拉梅常数。

地震勘探

这两个弹性常数有应力的量纲。

现在研究在剪切应力分量xy、xz和yz作用下图1-1的体积。与这些应力分量有关的形变是剪切应变e_xy、e_xz和e_yz。对于弹性固体这些应力分量和应变分量也是线性关系:

地震勘探

这里比例常数μ也被称为刚度模量。由方程(1-20a)可见，刚度模量是剪切应力与剪切应变之比。

综合方程(1-18)和(1-20)，得到弹性固体的应力—应变关系:

地震勘探

这是联系左边的应力张量与右边的应变张量的虎克定律的表达式。记得这两个张量是对称的，对角元素表示法向分量，非对角元素表示剪切分量。方程(1-21)对均匀各向同性弹性固体适用。对于充分小的形变(通常地震波经过介质的情况)满足应力和应变之间的线性关系。

由于应力张量(1-1)和应变张量(1-6)是对称的，方程(1-21)可以写为如下形式:

地震勘探

这个方程是由Office(1958)给出的广义虎克定律

地震勘探

的特殊形式，其中C_ij=C_ji是弹性介质的21个独立常数。左边的应力向量通过刚度矩阵C_ij与右边的应变向量相联系。方程(1-23)指示:一个应力分量是全部应变分量的线性综合。这个关系是线性弹性力学理论的基础，它的物理基础是假设固体中弹性形变为无限小。

对于各向同性固体，独立常数的数目减少到2个———即由方程(1-19)给出的拉梅常数λ和μ;从而方程(1-23)简化为方程(1-22)的特殊形式。对于横向各向同性固体，它的弹性表现在两个正交方向相同而在第三个方向不同，独立常数的数目为5个。