函数在某点连续的充要条件是什么，怎么证明？

证明连续性的步骤如下：

1、基本方法：

求出分段函数在某点的左右极限值，如果左极限=右极限=函数在该点的函数值，就说明函数在此点是连续的。

2、图像法：

画出分段函数的图像，从图像上看，如果图像是一条连续不断的曲线，则该函数连续。如果函数图像从某点断开，则函数在该点就不是连续的。

3、定义法：

若一个函数在该点处可导，那么一定连续。

函数连续必须同时满足三个条件：

（1）函数在X0处有定义；

（2）X→X0时，limf（x）存在；

（3）X→X0时，limf（x）=lim（x0）。

拓展知识：

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

定义

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

法则

定理一：在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二：连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。

定理三：连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。