关于数列极限的定义
数列极限的概念！
∀ε>0，∃N∈N*，当n>N时，|An-A|<ε，这个式子表达的意义就是：随便给一个正数ε，都有一个对应的正整数N，当n比N大后，数列中的项An和一个常数的距离就小于这个正数ε。
当ε取得很大的时候，那么很显然，这个N就可以不用那么大，就能满足条件；当ε取得很小的时候，那么N可能要取很大才能满足条件。
因为ε可以取任何正数，那么自然地，我们可以让它无限地小，无限地接近0，于是An和A的距离就无限接近于0，两者也就无限地趋于相等——而这时候，N显然也应该无限地增大才能满足这个要求。
1、∀ε>0
就是任意给一个正数ε。这一个正数可以任意地大，或者任意地小，总之它就是一个不加任何限定的正数。
2、∃N∈N*
存在一个正整数N。这一个句话是接着上面的那一句“任意给一个正数ε”来的，相当于上面那一句话给这一句话加了一个限制条件。
任意给一个正数ε，对于每一个这样给定的ε来说）都存在一个对应的正整数N。换句话说，这里的N是严格受ε影响的，相当于N是关于ε的一个函数，它们之间不是相互独立的。
扩展资料
用定义证明数列｛2^n/n!｝的极限是0。
套用极限的定义，任意给一个ε>0，要使得对于一个正整数N，当n大于N时，满足|2^n/n!-0|<ε，于是现在的问题就是找到这个与ε有关的N就行。
查看上面这个不等式，去掉绝对值，得到了：2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<ε
因为只要找到一个这样的N就行了，并不需要精确地找到这个N的最小值，所以我们完全可以将上面的不等式的左侧粗略地放缩一下，并令放缩的结果恒小于ε：
2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<2*(2/n)<ε
解上面的不等式，得n>4/ε
所以这时，我们就找到了一个潜在的N＝4/ε。但是由于ε是随便取的，不能保证4/ε是一个整数，于是我们只需要给这个式子加一个高斯取整即可，并且为了保证取整之后的N大于等于4/ε，我们再为它加上一个1，亦即：N=[4/ε]+1
所以总上，把整个证明连起来就是：∀ε>0，∃(N=[4/ε]+1)∈N*，当n>N时，|2^n/n!-0|<ε，于是按照极限定义，就证明了这个数列极限是0。
参考资料来源：百度百科-数列极限
数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，
任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。
看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|<ε。就是即使ε小到非常小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。
扩展资料：
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件：
被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。
比如对于这样一个数列
an=n（当n《100时） 或an=1/n (当n>100时）
这个数列的极限是0。当对于任意给定的正数比如1/3，数列下标在1~100时，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有项都满足|an|<1/3
从这个意义来说，数列有没有极限，前面的有限项（不管这有限项有多大）不起决定作用。
数列极限的概念！
答：数列极限的定义 当数列的项数无限增加时，如果数列的项不断趋近于某一固定的数，那么这个数就是该数列的极限。更具体地说，给定一个数列{an}，如果存在一个常数A，对于任意小的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的第n项an与A之间的差值小于ε，即|an - A| < ε，则称A是该数列...
答：数列极限的定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。证明：对任意的c >0，解不等式 | 1/ Vn|=1/ Vn<ε 得n>1/ ε2，取N=[1/ ε2]+1。于是，对任意的ε >0， 总存在自然数取N=[1/ ε2]+1。
答：1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平...
答：数列极限定义如下：数列极限定义是：是数列极限的ε-N定义。设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作lim(n->∞)an=a, 或an->a(n->∞)，读作“当n趋...
答：关于数列极限的概念如下 数列极限是指数列中项数趋于无穷大时，数列的项的极限值。它是数学中重要的概念之一，用于描述数列的发散或收敛性质。下面将从数列的定义、数列极限的性质以及求解数列极限的方法等方面进行详细描述，来解释数列极限的概念和应用。一、数列的定义 1.数列的概念：数列是按照一定规律...
答：数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是...
答：则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作 数列极限表达式 ，或Xn→a（n→∞）读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”．若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列．该定义常称为数列极限的 ε—N定义．...
答：数列的极限的概念是若数列无限地趋向于某一实数，则该确定的实数称为此数列的极限。数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推...
答：数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时...
答：数列极限的定义证明过程如下：一、定义数列极限 lim (x[n])=a n→∞表示当n无限增大时，数列x[n]的值无限接近于常数a。二、给出数列极限的等价定义 对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，有|x[n]-a|<ε。这个定义与直观意义相符：ε越小，N越大；当n>N时，x[n]与a...
