数学分析理论基础13：连续函数的性质
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-05
定理：若函数f在点 连续,则f在 上有界
定理：若函数f在点 连续,且 ,则 , 使得 有
注：应用局部保号性时,常取 ,则 时 使得 有
若函数f和g在点 连续,则 , , 也都在点 连续
注：对常量函数y=c和函数y=x反复四则运算可推出多项式函数 和有理函数 在其定义域的每一点都连续,同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续
定理：若函数f在点 连续,g在点 连续, ,则复合函数 在点 连续
证明：
注：
例： 在 上严格单调且连续,故 在 上连续,又把 看作由 复合而成的函数,则又复合函数的连续性, 在 上连续
注：若 ,则 是其定义区间上的连续函数
例：证明：有理幂函数 在其定义区间上连续
证：
定义：设f为定义在数集D上的函数,若 使得 有 ,则称f在D上有最大(最小)值,并称 为f在D上的最大(最小)值
注：函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)
引理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有界
证明：
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有最大值与最小值
证明：
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号( ),则 使得 ,即方程 在(a,b)上有一个根
定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续,且 ,若 介于f(a)与f(b),则 使得
注：若f在[a,b]上连续,又不妨设 ,则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即
证明：
例：证明：若 则 使得
证：
例：设f在[a,b]上连续,满足 ,证明： 使得
证：
若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M],若f为[a,b]上的增(减)函数且不为常数,则
定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数 在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续
证明：
定义：设f为定义在区间I上的函数,若 使 时有 ,则称f在区间I上一致连续
例：证明函数 在(0,1)上不一致连续
证：
例：函数f定义在区间I上,证明f在I上一致连续的充要条件为 ,若 ,则
证：
$取\delta_n={1\over n},\exists x'_n,x''_n\in I,|x'_n-x''_n|\lt {1\over n},有|f(x'_n)-f(x''_n)|\ge \varepsilon_0
例：证明 在区间(0,1)上不一致连续
证：
f在区间I上连续： 时有
注： 的取值依赖于
f的一个局部性质
f在区间I上一致连续
注： 只依赖于
f的一个整体性质
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一致连续
证明：
例：设区间 的右端点为 ,区间 的左端点也为 ( 可分别为有限或无限区间),证明：若f分别在 与 上一致连续,则f在 上也一致连续
证：
数学分析连续性
答：sinx=0的解为x=kπ， k为整数。当x=0时，即k=0 y=1，函数左右极限都存在，且相等，但是函数在此点无意义，所以是可去间断点 当x不等于0，即k不等于0时 函数的左右极限总有一个不存在，所以是无穷间断点。
如何判断函数是否在x=0处连续
答：x>=0，f(x)=x^2 1。x<0，f(x)=sinx。x=0 ，(即0点右边)，f(0 )=0 1=1。x=0-，(即0点左边)，f(0-)=sin0=0。两者等所x=0处连续。也可以用导数极限进行判断。导数极限定理: 设函数f(x)在点a的某邻域U(a)内连续，在U(a)的空心邻域内可导，且当x--->a时,导函数的...
怎样判断函数是否连续
答：总结：函数连续的判断标准是函数在其定义域上的所有点上都存在极限，并且这些极限都等于函数在该点的函数值。这种连续性可以通过极限的定义和判断标准来确定。我们还介绍了连续函数的性质，以及不连续函数的分类和性质。熟练掌握判断函数连续性的方法对于数学分析和实际问题的解决都非常重要。
给定一个函数怎么研究他的连续性 数学分析
答：函数连续性指的是局部性质，比如考虑f(x)在x=x0点处的连续性，有三个条件：在x=x0有定义； 在x=x0极限存在； 极限值等于函数值f(x0)综合一下，可以得出f(x)在x0点连续性的简单表示，也就是要证明lim f(x)=f(x0) ,当x-->x0时 关于连续函数有一些基本的结论，比如基本初等函数在...
函数连续性和一致连续性有什么区别?为什么函数f(x)在闭区间上连续,就在...
答：区别：推导概念不同。f(x)在闭区间[a,b]上连续则一致连续,数学分析教程上都有证明，一般用有限覆盖定理或反证法。如果所述命题成立，则闭区间上的连续函数就是可导函数。如f(x)=|x|在[-1,1]连续，但在x=0不可导。连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以...
连续函数的分界点处连续吗
答：分段函数在分界点处的连续，a=0。计算过程：因为f（x）在x等于处连续，所以说f（x）在x=0处的左右极限存在并且等于该点的函数值。当x=0时，f（0）=0+a。当x趋向于0的时候，limt（x趋向于0）x*（cos（1/x）），因为x趋向于0，而且cos（1/x）为有界函数，无穷小乘以有界函数，得出limt（...
高等数学 讨论函数的连续性和可导性 f(x)=lim(n→+∞)(x^2*e^n(x...
答：连续函数 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。证明：利用致密性定理：...
一道数学分析证明题,函数连续性
答：任给 x0 属于[a,b]:情形1. f(x0) = M（x),任给 e > 0, 根据连续性，存在t > 0, 使得 当 x属于 x0 的 t-邻域时，|f(x)-f(x0)|<e. 于是：1. M(x) > f(x0) - e = M(x0) - e.2. 如果 x < x0, 显然 M(x) <= M(x0), 如果 x > x0, M(x) = ...
函数极限的连续性与函数极限的存在性有什么关系?
答：具体来说，以下是一些情况：- 如果一个函数在某点的极限存在，但函数值与极限值不相等，那么该函数在这一点不连续。- 如果一个函数在某点的极限存在且与函数值相等，那么该函数在这一点连续。总之，极限的存在性和连续性之间有密切的关系，但并不是等同的概念。在数学分析中，我们经常使用极限的性质...
导函数的连续性讨论
答：在数学分析的广阔领域中，连续性与可微性是描述函数行为的关键概念。"连续"赋予函数在区间内的稳健性，只要极限值等于定义值；而"连续可微"则进一步要求函数在任意点可微，导函数在该点同样保持连续。这一更高的要求使得连续可微性成为连续性的强化条件。一个引人深思的问题随之而来：是否存在一种函数特性...
定理：若函数f在点 连续,且 ,则 , 使得 有
注：应用局部保号性时,常取 ,则 时 使得 有
若函数f和g在点 连续,则 , , 也都在点 连续
注：对常量函数y=c和函数y=x反复四则运算可推出多项式函数 和有理函数 在其定义域的每一点都连续,同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续
定理：若函数f在点 连续,g在点 连续, ,则复合函数 在点 连续
证明：
注：
例： 在 上严格单调且连续,故 在 上连续,又把 看作由 复合而成的函数,则又复合函数的连续性, 在 上连续
注：若 ,则 是其定义区间上的连续函数
例：证明：有理幂函数 在其定义区间上连续
证：
定义：设f为定义在数集D上的函数,若 使得 有 ,则称f在D上有最大(最小)值,并称 为f在D上的最大(最小)值
注：函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)
引理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有界
证明：
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有最大值与最小值
证明：
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号( ),则 使得 ,即方程 在(a,b)上有一个根
定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续,且 ,若 介于f(a)与f(b),则 使得
注：若f在[a,b]上连续,又不妨设 ,则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即
证明：
例：证明：若 则 使得
证：
例：设f在[a,b]上连续,满足 ,证明： 使得
证：
若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M],若f为[a,b]上的增(减)函数且不为常数,则
定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数 在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续
证明：
定义：设f为定义在区间I上的函数,若 使 时有 ,则称f在区间I上一致连续
例：证明函数 在(0,1)上不一致连续
证：
例：函数f定义在区间I上,证明f在I上一致连续的充要条件为 ,若 ,则
证：
$取\delta_n={1\over n},\exists x'_n,x''_n\in I,|x'_n-x''_n|\lt {1\over n},有|f(x'_n)-f(x''_n)|\ge \varepsilon_0
例：证明 在区间(0,1)上不一致连续
证：
f在区间I上连续： 时有
注： 的取值依赖于
f的一个局部性质
f在区间I上一致连续
注： 只依赖于
f的一个整体性质
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一致连续
证明：
例：设区间 的右端点为 ,区间 的左端点也为 ( 可分别为有限或无限区间),证明：若f分别在 与 上一致连续,则f在 上也一致连续
证：
答：sinx=0的解为x=kπ， k为整数。当x=0时，即k=0 y=1，函数左右极限都存在，且相等，但是函数在此点无意义，所以是可去间断点 当x不等于0，即k不等于0时 函数的左右极限总有一个不存在，所以是无穷间断点。
答：x>=0，f(x)=x^2 1。x<0，f(x)=sinx。x=0 ，(即0点右边)，f(0 )=0 1=1。x=0-，(即0点左边)，f(0-)=sin0=0。两者等所x=0处连续。也可以用导数极限进行判断。导数极限定理: 设函数f(x)在点a的某邻域U(a)内连续，在U(a)的空心邻域内可导，且当x--->a时,导函数的...
答：总结：函数连续的判断标准是函数在其定义域上的所有点上都存在极限，并且这些极限都等于函数在该点的函数值。这种连续性可以通过极限的定义和判断标准来确定。我们还介绍了连续函数的性质，以及不连续函数的分类和性质。熟练掌握判断函数连续性的方法对于数学分析和实际问题的解决都非常重要。
答：函数连续性指的是局部性质，比如考虑f(x)在x=x0点处的连续性，有三个条件：在x=x0有定义； 在x=x0极限存在； 极限值等于函数值f(x0)综合一下，可以得出f(x)在x0点连续性的简单表示，也就是要证明lim f(x)=f(x0) ,当x-->x0时 关于连续函数有一些基本的结论，比如基本初等函数在...
答：区别：推导概念不同。f(x)在闭区间[a,b]上连续则一致连续,数学分析教程上都有证明，一般用有限覆盖定理或反证法。如果所述命题成立，则闭区间上的连续函数就是可导函数。如f(x)=|x|在[-1,1]连续，但在x=0不可导。连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以...
答：分段函数在分界点处的连续，a=0。计算过程：因为f（x）在x等于处连续，所以说f（x）在x=0处的左右极限存在并且等于该点的函数值。当x=0时，f（0）=0+a。当x趋向于0的时候，limt（x趋向于0）x*（cos（1/x）），因为x趋向于0，而且cos（1/x）为有界函数，无穷小乘以有界函数，得出limt（...
答：连续函数 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。证明：利用致密性定理：...
答：任给 x0 属于[a,b]:情形1. f(x0) = M（x),任给 e > 0, 根据连续性，存在t > 0, 使得 当 x属于 x0 的 t-邻域时，|f(x)-f(x0)|<e. 于是：1. M(x) > f(x0) - e = M(x0) - e.2. 如果 x < x0, 显然 M(x) <= M(x0), 如果 x > x0, M(x) = ...
答：具体来说，以下是一些情况：- 如果一个函数在某点的极限存在，但函数值与极限值不相等，那么该函数在这一点不连续。- 如果一个函数在某点的极限存在且与函数值相等，那么该函数在这一点连续。总之，极限的存在性和连续性之间有密切的关系，但并不是等同的概念。在数学分析中，我们经常使用极限的性质...
答：在数学分析的广阔领域中，连续性与可微性是描述函数行为的关键概念。"连续"赋予函数在区间内的稳健性，只要极限值等于定义值；而"连续可微"则进一步要求函数在任意点可微，导函数在该点同样保持连续。这一更高的要求使得连续可微性成为连续性的强化条件。一个引人深思的问题随之而来：是否存在一种函数特性...
