如何区分实数与复数？
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-08-02
实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：
例1 若不等式 成立，求实数 .
错解：
因为两个不全为实数的复数不能比较大小，所以性质 在复数集中不一定成立，上述解法是错误的。
正确的解法应该是直接由条件得出不等式组
例2 设关于x的方程
错解：设两根为
以 ，从而得
与题意不符。
其错因在于复数集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正确的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴两实根同号，又2(m －)＜0，
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
综上（1）、（2）得
例3 已知方程 的两个虚数根为α,β,且|α－β|＝2 ，求实数k.
错解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虚根，不符题意，显然错误。错因何在？显然错在等式 不全为实数时，不一定成立。事实上，令 显然 更何况，教科书中对 无定义呢。
本题正确的解法是：
解一：∵ ∴设 ∴
∴
解二：∵ ∴
例4 已知
错解：由
∴
检验：由
∴
从而得
错因何在？显然是在a,b不全为实数时，等式a2＋b2＝0并不一定等于a＝b＝0.
事实上，分设
然而 ，进一步证明 是错误的。
例5 求 的值。
错解：
错因何在？显然在于实数集上的指数运算法则： 不一定适用于复数集，即 ，且在复数集中 ；
事实上，
例6 已知 中至少有一个为0.
错证：设 都非0，则 与题设矛盾，因此 中至少有一个为0.
上述证法运用了反证法去证明等价命题，貌似正确，实则在逻辑上有问题，因为 这一性质并没有被证明可以推广到复数集中去。
正确的证法是利用模去证：
，从而必有
为0.
或用共轭复数证法： 即
根据教科书及上述各例，归纳出复数与实数的主要区别如下：
1、两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 则上式不一定成立，如例3；
5、实系数方程 △＝ 时无实根，但在复数集中 ；
6、 在实数集中a的n次方根的情况是：
（1）n为奇数，有一个实根 ，
（2）n为偶数，（i）a＞0时有两个实数 , (ii) a＜0时无实根，但在复数集中有且仅有n个n次方根，因此，在实数集中 不能分解成一次因式之积，而在复数集中 ；
7、实数集中成立的一些运算法则及命题未经论证不能擅自用于复数集，如例5和例6。
复数性质公式与实数性质公式有何区别?
答：此外，实数和复数的运算规则也有所不同。实数的运算规则相对简单，主要是遵循基本的算术运算规则。而复数的运算则需要遵循一些特殊的规则，如复数的加减法需要保持模不变，复数的乘除法则需要考虑共轭复数等因素。总的来说，复数性质公式与实数性质公式的主要区别在于它们处理的对象不同，因此它们的运算规则和...
复数与实数的定义分别是什么.?
答：①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a ②a为0时， |a|=0 ③a为负数时，|a|=-a ③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互...
复数是实数吗?
答：复数就是实数和虚数的统称 形如a＋bi的数 。形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数...
什么是实数、什么是虚数?
答：虚数的意义 [编辑本段] (1)[unreliable figure]∶虚假不实的数字(2)[imaginary number]∶复数中a+bi,b不等于零时叫虚数(3)[暂无英文]：汉语中不表明具体数量的词在数学里，如果有某个数的平方是负数的话，那个数就是虚数了。所有的虚数和实数组成复数。这种数一个专门的符号“i”(imaginary...
什么是实数呢?还有复数
答：复数 = 实数 + 虚数。国内在这方面的教学，整体有两个特色：1、一是近百年来，复数的教学没有丝毫长进，一直原地踏步。特别是我们的教师的思想 牢固地停留在慈禧年代！对虚数的认识，应用，出题的方法，、、、极度僵化。远远不及英美的中学教学，落后至少在100年左右。2、我们极度歪解虚数的概念，我们...
实数包含复数吗?
答：实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。复数形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部...
实数 虚数 复数是什么意思?
答：虚数和实数有着同等地位，二者合在一起成为复数。一个复数由实部和虚部组成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意实数。如果一个复数只有虚数部分，则称这个复数是纯虚数。很多时候复数和虚数会互相混用，有很多资料把z=a+bi (a≠0)叫做虚数。如果较真一点，a+bi是复数，a是复数的实部，b是复数的虚部，...
什么是实数?
答：实数，就是“数轴上所有的点”上的数字。－－－ 虚数，是“实数与虚单位 i 的乘积”。其中 i * i =－1。由于 i 的存在，虚数就是“i 轴上所有的点”的数字。－－－ 复数，包括实部和虚部两个部分。一般是以实轴为水平、i 轴为垂直，构成一个“复平面”。复数就是：覆盖“复平面”上所有...
复数、实数、虚数和纯虚数之间是什么关系?
答：虚数和实数有着同等地位，二者合在一起成为复数。一个复数由实部和虚部组成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意实数。如果一个复数只有虚数部分，则称这个复数是纯虚数。很多时候复数和虚数会互相混用，有很多资料把z=a+bi (a≠0)叫做虚数。如果较真一点，a+bi是复数，a是复数的实部，b是复数的虚部，...
什么是复数和实数的关系?
答：复数包括实数和虚数，虚数包括纯虚数和非纯虚数；实数包括有理数和无理数。整数和分数统称为有理数：整数又分为正整数、负整数和0；分数又分为正分数、负分数。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数。关系结构图如下：结构图的绘制 设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是...
例1 若不等式 成立，求实数 .
错解：
因为两个不全为实数的复数不能比较大小，所以性质 在复数集中不一定成立，上述解法是错误的。
正确的解法应该是直接由条件得出不等式组
例2 设关于x的方程
错解：设两根为
以 ，从而得
与题意不符。
其错因在于复数集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正确的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴两实根同号，又2(m －)＜0，
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
综上（1）、（2）得
例3 已知方程 的两个虚数根为α,β,且|α－β|＝2 ，求实数k.
错解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虚根，不符题意，显然错误。错因何在？显然错在等式 不全为实数时，不一定成立。事实上，令 显然 更何况，教科书中对 无定义呢。
本题正确的解法是：
解一：∵ ∴设 ∴
∴
解二：∵ ∴
例4 已知
错解：由
∴
检验：由
∴
从而得
错因何在？显然是在a,b不全为实数时，等式a2＋b2＝0并不一定等于a＝b＝0.
事实上，分设
然而 ，进一步证明 是错误的。
例5 求 的值。
错解：
错因何在？显然在于实数集上的指数运算法则： 不一定适用于复数集，即 ，且在复数集中 ；
事实上，
例6 已知 中至少有一个为0.
错证：设 都非0，则 与题设矛盾，因此 中至少有一个为0.
上述证法运用了反证法去证明等价命题，貌似正确，实则在逻辑上有问题，因为 这一性质并没有被证明可以推广到复数集中去。
正确的证法是利用模去证：
，从而必有
为0.
或用共轭复数证法： 即
根据教科书及上述各例，归纳出复数与实数的主要区别如下：
1、两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 则上式不一定成立，如例3；
5、实系数方程 △＝ 时无实根，但在复数集中 ；
6、 在实数集中a的n次方根的情况是：
（1）n为奇数，有一个实根 ，
（2）n为偶数，（i）a＞0时有两个实数 , (ii) a＜0时无实根，但在复数集中有且仅有n个n次方根，因此，在实数集中 不能分解成一次因式之积，而在复数集中 ；
7、实数集中成立的一些运算法则及命题未经论证不能擅自用于复数集，如例5和例6。
答：此外，实数和复数的运算规则也有所不同。实数的运算规则相对简单，主要是遵循基本的算术运算规则。而复数的运算则需要遵循一些特殊的规则，如复数的加减法需要保持模不变，复数的乘除法则需要考虑共轭复数等因素。总的来说，复数性质公式与实数性质公式的主要区别在于它们处理的对象不同，因此它们的运算规则和...
答：①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a ②a为0时， |a|=0 ③a为负数时，|a|=-a ③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互...
答：复数就是实数和虚数的统称 形如a＋bi的数 。形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数...
答：虚数的意义 [编辑本段] (1)[unreliable figure]∶虚假不实的数字(2)[imaginary number]∶复数中a+bi,b不等于零时叫虚数(3)[暂无英文]：汉语中不表明具体数量的词在数学里，如果有某个数的平方是负数的话，那个数就是虚数了。所有的虚数和实数组成复数。这种数一个专门的符号“i”(imaginary...
答：复数 = 实数 + 虚数。国内在这方面的教学，整体有两个特色：1、一是近百年来，复数的教学没有丝毫长进，一直原地踏步。特别是我们的教师的思想 牢固地停留在慈禧年代！对虚数的认识，应用，出题的方法，、、、极度僵化。远远不及英美的中学教学，落后至少在100年左右。2、我们极度歪解虚数的概念，我们...
答：实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。复数形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部...
答：虚数和实数有着同等地位，二者合在一起成为复数。一个复数由实部和虚部组成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意实数。如果一个复数只有虚数部分，则称这个复数是纯虚数。很多时候复数和虚数会互相混用，有很多资料把z=a+bi (a≠0)叫做虚数。如果较真一点，a+bi是复数，a是复数的实部，b是复数的虚部，...
答：实数，就是“数轴上所有的点”上的数字。－－－ 虚数，是“实数与虚单位 i 的乘积”。其中 i * i =－1。由于 i 的存在，虚数就是“i 轴上所有的点”的数字。－－－ 复数，包括实部和虚部两个部分。一般是以实轴为水平、i 轴为垂直，构成一个“复平面”。复数就是：覆盖“复平面”上所有...
答：虚数和实数有着同等地位，二者合在一起成为复数。一个复数由实部和虚部组成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意实数。如果一个复数只有虚数部分，则称这个复数是纯虚数。很多时候复数和虚数会互相混用，有很多资料把z=a+bi (a≠0)叫做虚数。如果较真一点，a+bi是复数，a是复数的实部，b是复数的虚部，...
答：复数包括实数和虚数，虚数包括纯虚数和非纯虚数；实数包括有理数和无理数。整数和分数统称为有理数：整数又分为正整数、负整数和0；分数又分为正分数、负分数。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数。关系结构图如下：结构图的绘制 设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是...
