虫口模型的规律这是研究混沌现象的模型
简单原因可导致复杂后果。许多看来杂乱无章、随机起伏的时间变化或空间图案，可能来自重复运用某种简单而确定的非线性基本作用的结果。一个典型例子是极为简单的一维迭代虫口模型。 假定成虫繁殖后全部死亡，然后孵化出下一代，世代之间没有交叠。如果下一代虫口数简单正比于前一代虫口数，只要平均产卵数大于1，经过几代繁殖就会虫满为患。这就是马尔萨斯虫口论：虫口按几何级数增长。然而，随着虫口增长，群虫争夺有限食物和配偶，加之传染病因虫间接触而蔓延，虫口又会减少。产卵数正比于虫口数，虫间争斗和接触正比于虫口数平方。可用xn+1=λxn(1-xn)的迭代过程描述虫口变化，其中xn代表第n代虫口 ，λ是一个表示虫口增长率的参数，取值范围为0≤λ≤4。对应一个λ值，任取初值x0，根据前述迭代关系，反复迭代算出x1,x2,... 不看最初的有限个x值。它显示出了简单迭代模型的复杂行为。在0≤λ≤1时，虫口数最终为0，表明在此范围内虫种灭绝。在1≤λ≤3时，虫口数随λ单值上升，x(λ)=1－1/λ，迭代值为不动点。从λ>1开始，出现两种不同类型的虫口变化方式：先是x(λ)在2个点之间跳跃，然后在4,8,16,…,2n个点间作周期性跳跃，表现出倍周期分岔规律，这个λ区是对初值不敏感的周期变化区；当λ≥λ∞…时存在确定的λ区内，稍微改变初值则其上的x(λ)所经历的具体数值就完全不同，这正是对初值敏感的混沌区，如果提高精度在此区可看到小的对初值不敏感的周期变化区。这种在混沌区内镶嵌的周期区称为周期窗口，其分叉图存在自相似结构。不难看出，即使如xn+1=λxn(1－xn)这样简单的迭代，由于包含非线性作用，也会表现出从分岔到混沌的变化过程和周期运动与混沌运动互相交织、乱而有章的复杂图景。
混《混沌 :开创新科学》或者《混沌学》。沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。美国气象学家洛伦茨在2O世纪6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论。
但有的科学家对混沌理论评价很高，认为“混沌学是物理学发生的第二次革命”。但有的人认为这似乎有些夸张。对于它的应用前景有待进一步揭示。但混沌理论研究同协同学、耗散结构理论紧密相关。它们在从无序向有序和由有序向无序转化这一研究主题有共同任务，因而混沌理论也是自组织系统理论的一个组成部分。近几年来，科学家们在研究混沌控制方面已取得重要进展，实现了第一类混沌，即时间序列混沌的控制实验。英、日科学家还在试验用混沌信号隐藏机密信息的信号传输方法。
混沌出现，古典科学便终止了。由於长久以来世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，而面对无秩序的现象如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突然增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当无知。这些大自然中不规则的部份，既不连续且无规律，在科学上一直是个谜。
但是在七零年代，美国和欧洲有少数的科学家开始穿越混乱来开辟一条出路。包括数学家、物理学家、生物学家及化学家等等，所有的人都在找寻各种不规则间的共相。生理学家从造成神秘猝死的主要原因－－人类心脏所产生的混沌中，找到令人讶异不已的秩序。生态学家研究数量的起伏，经济学家挖出股票价格资料去尝试新的分析方式。这些洞察力开始显现出来引导我们走向自然世界－－云朵的形状、闪电路径、血管微观的纠结交错、星族聚集。
从研究者互不相识到世界疯狂加入新科学的风行。十年之后，混沌已经变成一项代表重新塑造科学体系的狂飙运动，四处充斥了为混沌理论而举行的会议和印行的期刊，政府在预算中将更多的军队、中央情报局和能源部门研究经费投入探索混沌现象，同时成立特别部门来处理经费的收支。在每一所大学和联合研究中心里，理论家视混沌为共同志业，其次才是他们的专长。在罗沙拉摩斯，一个统合混沌和其他相关问题的非线性研究中心已经成立，类似机构也出现在全国各处校园里。
混沌创造了使用电脑与处理特殊图形、在复杂表相下捕捉奇幻与细腻结构图案的等殊技巧。这支新的科学衍生出它自己的语言，独具风格的专业用语－－－分形、分歧、间歇、周期、摺巾（folded-towel）、微分同相（diffeomorphisms）、以及平滑面条映象（smooth noodle maps）。这些运动的新元素，就像传统物理学中的夸克、gluons是物质的新元素一般，对有些物理学家而言，混沌是一门进展中的科学而不是成品，是形成而非存在。
混沌现象似乎是俯拾皆是：袅绕上升的香菸烟束爆裂成狂乱的烟涡、风中来回摆动的旗帜、水龙头由稳定的滴漏变成零乱。混沌也出现在天气变化中、飞机的航道高速公路上车群的壅塞、地下油管的传输流动；不论以什麼做为介质，所有的行为都遵循这条新发现的法则。这种体会也开始改变企业家对保险的决策、天文学家观测太阳系及政治学者讨论武冲突压力的方式。
混沌夸越了不同科学学门的界线，因为它是各种系统的宏观共相，它将天南地北各学门的思想家聚集一堂，一位管理科学预算的海军官员，曾经对一群数学家、生物学家、物理学家和医生的听众陈述：『十五年前，科学正迈入钻牛角尖的危机，但这种细密的分工，又戏剧化地因混沌理论而整合起来了』。对新科学最热烈的拥护者认为，二十世纪的科学中传世之作只有三件：相对论、量子力学、和混沌理论。他们主张混沌已经成为这世纪中物理科学发生的第三次大革命，像前两次革命一样，混沌理论撕下了牛顿物理中奉为圭臬的信条。就像一位物理学家所表示的：相对论否定了牛顿对绝对空间与时间的描述；量子理论否定了牛顿对於控制下测量过程的梦想；而混沌理论则粉粹了拉普拉斯（ Laplace ）对因果决定论可预测度所存的幻影。
混沌理论的革命适用於我们可以看到、接触到的世界，在属於人类的尺度里产生作用，世界上日常生活的经验和个人及真实景象已经变成了研究的合适目标，长久以来有种不常公开表达出来的感觉－－理论物理学似乎已远离了人类对世界的直觉（例如：你真的相信羽毛和石头掉落的速度是一样的吗？伽利略从比萨斜塔抛下球体的故事简直是神话！）没有人知道某个新学说会成为结实累累的异端或仅仅是平凡的异端，但是对有些逼入墙角的物理学家而言，混沌理论则是他们的新出路。
混沌理论的研究从原本物理学范畴中落后的部份突显了出来。粒子物理学主宰二十世纪的全盛时期已然过去，使用粒子物理的术语来解释自然法则所受到的限制，除了最简单的系统外，这些法则对大部分问题几乎束手无策。以可预测度来说，在云雾实验室里让两颗粒子绕著加速器赛跑而在尽头碰撞是一回事，至於在简单导管里慢慢移动的流体、地球天气或者人类脑袋则完全不是同一回事。
当混沌革命继续进展时，顶尖物理学家发现自己心安理得的回归到属於人类尺度的某些现象，他们不只研究星云，也开始研究云。他们不只在克雷超级电脑执行大有斩获的电脑研究，同时也在麦金塔个人电脑上进行。一流期刊上刊载有关一粒球在桌上跳跃的奇异动力，和量子力学的文章平起平坐，最简单的系统也能够制造出让人手忙脚乱的可预测度问题。尽管如此，秩序依旧从这些系统中突然绽现－－秩序与混沌共存。只有一种新的科学可以连接微观：例如一颗水分子、一粒心脏组织的细胞、一支中子；和宏观上百万的物体集体行为之间的深深鸿沟。
观察瀑布底端两块紧邻的泡沫，你能猜想到它们原来在瀑布顶端时的距离如何？事实上无迹可寻，就像标准的物理学所认为的一样，彷佛上帝秘密地将所有的水分子放在黑盒子里搅动。通常当物理学家看到这麼复杂的结果，他们便去寻找复杂的原因，当看到进出系统的种种事物之间混乱的关系，他们会认为必须用人为加入扰动或误差，而在任何现实可行的理论里加入随机因素。开始於六零年代的混沌理论的近代研究逐渐地领悟到，相当简单的数学方程式可以形容像瀑布一样粗暴难料的系统，只要在开头输入小小差异，很快就会造成南辕北辙的结果，这个现象称为『对初始条件的敏感依赖』。例如在天气现象里，这可以半开玩笑地解释为众所皆知的蝴蝶效应－－今天北京一支蝴蝶展翅翩跹对空气造成扰动，可能触发下个月纽约的暴风雨。
当混沌理论的探险者开始回想新科学的发展源流时，追溯到许多过去知识领域的褴褛小径。但是其中之一格外清晰，对於革命旅程的年轻物理学家和数学家而言，蝴蝶效应是他们的共同起点。
x(n+1)=u*x(n)*(1-x(n)),u属于[0,4],x属于(0,1)这是1976年数学生态学家R. May在英国的《自然》杂志上发表的一篇后来影响甚广的综述中所提出的，最早的一个由倍周期分岔通向混沌的一个例子。后来经过Feigenbaum研究得出:一个系统一旦发生倍周期分岔，必然导致混沌。他还发现并确定了该系统由信周期分岔通向混沌的两个普适常数(也称为Feigenbaum常数)。
对于一维Logistic映射，研究的比较早也比较详细，比如该映射之所以产生混沌，有人归纳出它具有两个基本性质、逆瀑布、周期3窗口、U序列等等。但是一维Logistic映射仅有一个自由度，利用它只能产生一条线或一条曲线，而做图像，至少需要两个或以上个自由度，为此，孙海坚等人给出了LMGS定义。王兴元还扩展了LMGS定义，在此基础上，就可以分析2维及其以上的系统，分析图形与吸引子的结构特征，探讨了图形与吸引子之间的联系;并由一维可观察计算系统混沌定量判据的方法，计算了吸引子的Lyapunov指数和Lyaounov维数。[1]
二维Logistic映射起着从一维到高维的衔接作用，对二维映射中混沌现象的研究有助于认识和预测更复杂的高维动力系统的性态。王兴元教授通过构造一次藕合和二次祸合的二维Logistic映射研究了二维Logistic映射通向混沌的道路，分析了其分形结构和吸引盆的性质，指出选择不同的控制参数，二维映射可分别按Feigenbaum途径等走向混沌，并且指出在控制参数空间中的较大的区域，其通向混沌的道路与Hopf分岔有关，在这些途径上可观察到锁相和准周期运动。二维滞后Logistic映射
x(n+1)=y(n)
y(N+1)=u*y(n)*(1-x(n)), u属于(0,2.28),[x,y]属于(0,1)
该系统走向混沌的道路正是验证了二维Logistic映射与Neimark-Sacker分岔有密切的关系，对于研究其他的具有滞后的系统具有重要的意义。[1]
答：生态学中的虫口模型(亦即Logistic映射)可用来描述 x(n+1)=u*x(n)*(1-x(n)),u属于[0,4],x属于(0,1)这是1976年数学生态学家R. May在英国的《自然》杂志上发表的一篇后来影响甚广的综述中所提出的，最早的一个由倍周期分岔通向混沌的一个例子。后来经过Feigenbaum研究得出:一个系统一旦发生...
答：他提出的公式为：x(n+1) = u * x(n) * (1 - x(n))，其中u的取值范围在0到4之间，x的值则在0和1之间。这一模型首次展示了如何通过倍周期分岔现象，逐渐过渡到混沌状态，这是混沌理论的早期示例。Feigenbaum的研究进一步深化了这一理解，他揭示了一个系统经历倍周期分岔后，混沌是不可避免的...
答：当我们深入探讨这个模型，特别是在参数取值为 时，虫口数量的动态变化呈现出一种令人惊讶的特性：初始值的微小变化会导致长期行为的剧烈波动，形成所谓的混沌轨道或奇异吸引子。例如，即使初始值微小的差异，如 和 ，也会导致虫口数量在短期看似可预测，但长期行为却变得随机且难以捉摸[4]。这种混沌现象...
答：1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复...
答：1978年,美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时,发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。与此同时,曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象,使奇异吸引子具有分数维,推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象...
答：明显的不规则是整个秩序中的很小部分，这些不规则非常复杂，以至于我们无法了解其全部。这个理论基本上是正确的，尽管在微小的过程中表现为复杂的程序——许多独特的周期运动的混合，就像种类繁多的各种规格的旋涡——则是错误的。当前的理论是新的数学结构，别名是混沌，混沌是研究这种现象的科学。
答：1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇 异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期 科学家们在许多确定...
答：Ruelle和Tankens提出了奇怪吸引子的概念(1971,《论湍流的本质》);Li和Yorke首先使用了混沌这个术语(1975,《周期3则混沌》);May发表了关于生物学的生态方程(1976,《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》);Feigenbaum对May的虫口模型进行计算机数值实验时,发现了称之为费根鲍姆(Feigenbaum)常数的两个常数(1978);...
答：这种选择的过程，就称为倍周期分叉现象。它在现实世界的政治、经济、生活中具有普遍性。倍周期分叉现象举例--logistic映射生态学中的虫口模型(亦即Logistic映射)可用来描述倍周期分岔。x(n+1)=u*x(n)*(1-x(n)),u属于[0,4],x属于(0,1)这是1976年数学生态学家R. May在英国的《自然》杂志上...
答：分形混沌与矿产预测 f（x）通常称为Logistic函数.上面的虫口模型也称为Logistic模型.由（6.3.9）式可得到Logistic映射：分形混沌与矿产预测 这实际是一种确定一系列的x值x0，x1，x2，…的递推关系式.先选择一个初始值x0，这个值作为式（6.3.10）中的xn被代入，由此得到x1（作为xn+1），这个...
