如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在A′、D′处,且A′D′经过B,EF为折痕,当D
kuaidi.ping-jia.net 作者:佚名 更新日期:2024-07-26
如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在点A′、D′处,且A′D′经过点B,EF为折
A 首先延长DC与A′D′,交于点M,由四边形ABCD是菱形、折叠的性质,易求得△BCM是等腰三角形,△D′FM是含30°角的直角三角形,然后设CF=x,D′F=DF=y,利用正切函数的知识,即可求得答案.解:延长DC与A′D′,交于点M, ∵在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,∴∠DCB=∠A=60°,AB∥CD,∴∠D=180°﹣∠A=120°,根据折叠的性质,可得∠A′D′F=∠D=120°,∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°,∵D′F⊥CD,∴∠D′FM=90°,∠M=90°﹣∠FD′M=30°,∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°,∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°,∴∠CBM=∠M,∴BC=CM,设CF=x,D′F=DF=y,则BC=CM=CD=CF+DF=x+y,∴FM=CM+CF=2x+y,在Rt△D′FM中∴x= y,∴ = = .故选A.
设BC交FD'于点G.
在△FCG中,∠GFC=90°,∠C=60°,故∠FGC=30°,
在△BD'G中,∠BGD'=∠FGC=30°,而∠GD'B=∠D=180°-60°=120°,故∠GBD'=180°-30°-120°=30°,故△BD'G为等腰三角形,BD'=GD'.
设CD=a,FC=x,则
GD'=a-x-√3x,BG=a-2x,顶角为120°的等腰钝角三角形底是腰的√3倍(证明略),可得
a-2x=√3(a-x-√3x),得x=(2-√3)a.
故GD'=a-x-√3x=a-(2-√3)a-√3(2-√3)a=(2-√3)a=x=FC,又BD'=GD',故BD'=FC.
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延长DC与A′D′,交于点M, ∵在菱形纸片ABCD中,∠A=60°, ∴∠DCB=∠A=60°,AB ∥ CD, ∴∠D=180°-∠A=120°, 根据折叠的性质,可得∠A′D′F=∠D=120°, ∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°, ∵D′F⊥CD, ∴∠D′FM=90°,∠M=90°-∠FD′M=30°, ∵∠BCM=180°-∠BCD=120°, ∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°, ∴∠CBM=∠M, ∴BC=CM, 设CF=x,D′F=DF=y, 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y, ∴FM=CM+CF=2x+y, 在Rt△D′FM中,tan∠M=tan30°=
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