高一数学函数值域问题？
求
函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数
的定义域为{x|x
0}，值域为{y|y
0}；
二次函数
的定义域为R，
当a>0时，值域为{
}；当a<0时，值域为{
}.
例1．求下列函数的值域
①
y=3x+2(-1
x
1)
②
③
④
解：①∵-1
x
1，∴-3
3x
3，
∴-1
3x+2
5，即-1
y
5，∴值域是[-1，5]
②∵
∴
即函数
的值域是
{
y|
y
2}
③
④当x>0，∴
=
，
当x<0时，
=－
∴值域是
[2，+
).（此法也称为配方法）
函数
的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2
求下列函数的最大值、最小值与值域：
①
；
解：∵
，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3
,无最大值；函数的值域是{y|y
-3
}.
②∵顶点横坐标2
[3,4]，
当x=3时，y=
-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，
=-2，
=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2
[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，
=-2，
=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2
[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,
x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，
=-3，
=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数
,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当
时，其最小值
；
②当a<0时，则当
时，其最大值
.
⑵若定义域为x
[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若
[a,b],则
是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较
的大小决定函数的最大（小）值.
②若
[a,b],则[a,b]是在
的单调区间内，只需比较
的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数
的值域
方法一：去分母得
(y-1)
+(y+5)x-6y-6=0
①
当
y11时
∵x?R
∴△=(y+5)
+4(y-1)×6(y+1)
0
由此得
(5y+1)
0
检验
时
（代入①求根）
∵2
?
定义域
{
x|
x12且
x13}
∴
再检验
y=1
代入①求得
x=2
∴y11
综上所述，函数
的值域为
{
y|
y11且
y1
}
方法二：把已知函数化为函数
(x12)
∵
x=2时
即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数
的值域
解：设
则
t
0
x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：
，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y
3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+
].
如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y1｝）
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）
A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）
（答案：D）。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1<x≤2)
2x-1(x>2)
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=1/2(t2-1)。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
十二．不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0
1-x≠0
解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0）
解：先求 f(x) 的值域，从下图很容易看出，在 x 区间 [-1, 2] 上，f(x)=x²-2x 的值域为 [-1, 3]
f(x)=x²-2x 的图像
再求 g(x) 的值域，因为 a>0，所以 g(x)=ax+2 在 x 区间 [-1, 2] 上单调递增，所以其值域为：-a+2≤g(x)≤2a+2
又因为在 x 区间 [-1, 2] 上，f(x₁)=g(x₂)，所以 f(x) 的值域 [-1, 3] 应是 g(x) 值域的子集
所以有：-a+2≤-1，2a+2≥3
求得：a≥3 即实数 a 的取值范围为： [3, +∞)
解：x1∈【－1，2】时，y＝x^2-2x的值域y∈【－l，3】；
x2∈【-1，2】时，y＝ax＋2，a＞0的值域y∈【－a＋2，2a＋2】。因为f（xl）＝g（x2），所以－a＋2≤－l，2a＋2≥3，解得a≥3。
x1∈[－1，2]时，y＝x1^2-2x1=(x1-1)^2-1的值域为A=[－l，3]；
x2∈[-1，2]时，y＝ax2＋2(a＞0)是增函数，它的值域B=[－a＋2，2a＋2]。
因为对任意x1∈[－1，2]，总存在x2∈[-1，2]，使得f（xl）＝g（x2），
所以A是B的子集，
于是－a＋2≤－l，且2a＋2≥3，
解得a≥3，为所求。
对这种:对任意的……总存在……。
的问题，主要是分别求两个函数的最值。
根据题意建立不等关系。
详情如图所示:
答：2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1 ∴ymin=(-1+1)^2+2=2 ymax=(2+1)^2+2=11 4.拆分法：对于形...
答：解令t=√(x-1),则t≥0 且t^2=x-1，即x=t^2+1 故原函数边为y=t^2+1-t =t^2-t+2 =(t-1/2)^2+7/4(t≥0)故t=1/2时，y有最小值7/4，即y≥7/4 故函数的值域为[7/4,正无穷大).
答：y=f(-x)相当于将y=f(x)沿y轴对称变换，二者的图象关于y轴对称 所以二者定义域关于原点对称，值域相同。所以，y=f(-x)值域为[-1,2]y=-f(x)相当于将y=f(x)沿x轴对称变换，二者的图象关于x轴对称 所以二者定义域相同，值域关于原点对称。所以，y=-f(x)值域为[-2,1]...
答：有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题，值域反求定义与问题（即反函数求定义域）……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。首先要着重说的是：求值域，必先看定义域。所有函数都是如此。1.单调性法 利用函数的单调性。当一个函数单调性很容易判断时，可用定义域来求解。e.g....
答：1、y=1-根号(2-x-x^2)，所以2-x-x^2≥0.又因为二次函数2-x-x^2开口向下，在顶点处取最小值，所以：2-x-x^2≤9/4 从而有： 1-3/2≤y≤1-0即-1/2≤y≤1 所以值域为[-1/2,1]2、y=2x+1-根号(1-x)令t=根号(1-x),则t≥0，且x=1-t²y=2(1-t²)-...
答：是不是y=√(x-1) - x 令t=√(x-1)则x=t²+1 , 将t换成x y=√(x²) - x²+1 ∵x≥2 ∴y=-(x+1/2)² -3/4 -(x+1/2)²≤0 -(x+1/2)²-3/4≤-3/4 y的值域为(-∞,-3/4)...
答：所以f(x)的定义域为R，值域为(-1,1)；(2)∵f(x)＝(a^x-1)／(a^x+1) ∴f(-x)＝[a^(-x)-1]／[a^(-x)+1]分子、分母同乘a^x 得 f(-x)＝(1-a^x)／(a^x+1)＝-f(x)∴f(x)是奇函数 (3)设x1>x2,所以f(x1)-f(x2)=[1-2/(a^x1+1)]-[1-2/(a...
答：y=(x^2+3)/(x+1)=(x^2+x-x-1+4)/(x+1)=x - 1 + 4/(x+1)=x+1 + 4/(x+1)-2 因为x＞-1，∴x+1＞0 ∴可以用基本不等式 y≥2倍根号下（x+1）×4/(x+1)-2 =4-2 =2 ∴值域为【2，正无穷大）
答：”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=f(x)有实数解，求y的取值范围。”因此先将y表示成关于x的二次函数，在求解对应一元二次方程有实数根时的y的取值范围，就是原函数y=f(x)的值域。你所说的“x属于R或有一点不可取”是指要先确定原函数的定义域，再结合x的取值范围求出值域。(3)原...
答：回答：(-∞,0)∪(2.25,+∞)
