实数完备性有啥作用
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-09
实数完备性的重要意义？
1.(连续性,dedekind)实轴的切割不产生新的点。
2.(连续性,bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界。
3.(连续性)单调有界数列必收敛。
4.(连续性,cantor)闭区间套非空。
5.(紧性,weierstrass)有界数列必有收敛子列。
6.(紧性,heine-borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖
7.(完备性,cauchy)实轴上的基本序列收敛。
顺便提一句，连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价，所以不要混用。
1楼看来真是全忘了，这个是数学分析的基础，不是实分析，虽然没必要去区分这两者。
ok.就证这两个。
2=>5:
若数列a_n落在区间[-m,m]上，考察集合
a={x:[-m-2,x]包含a_n的最多有限项}
那么a非空(至少包含-m-1)且上有界(m是一个上界)，必存在上确界，记u=supa。
在(u,u+1)中取a_n的一项a_k_1。
在(u,u+1/m)中取a_n一项a_k_m，使得k_m>k_{m-1}，由a的定义，这样的项肯定存在。
这样找到了a_n的一个子列a_k_m，容易用极限的定义说明a_k_m收敛到u。
5=>2:
设x是实数集的非空上有界子集，y是它的上界全体。(此构造同样适用于1=>2，并且是直接得结论)
若x有最大值，那么supx=maxx，即上确界存在。
以下讨论x没有最大值的情况。
在x中任取一点记为a_0，在y中任取一点记为b_0。
取c_n=(a_n+b_n)/2，若x中存在比c_n大的元素a，那么a_{n+1}=a，b_{n+1}=b_n；
否则a_{n+1}=a_n，b_{n+1}=c_n。
于是b_n是一个有界数列(a_0<=b_n<=b_0)，必有收敛子列b_k_n->u。(注意，这里最关键的是u的存在性)
然后利用极限的保序性质(因为极限存在，只要用极限的定义就可以说明)，对x的任意元素a，a<=b_k_n得到a<=u，于是u是x的一个上界。
任取e>0，由于0
2的方法同样适用于3=>2、4=>2、7=>2，只要说明b_n有极限就可以了。
2)
实数理论最关键的是说明一些数的存在性，在已知数列极限存在的时候，很多结论的证明只需要极限的定义就够了。
这些定理的等价性证完以后没必要把任意两个单独抽出来证，除非你在训练自己的思维。本来7步就可以证出所有等价性，去收集另外35个证明没啥用处。
假如你能证明存在一个数位于两个实数之间满足某个定理，那么这个定理救是对的。因为实数具有完备性，所以只要一个数在两个实数之间，不管多么复杂就必定存在。而且只有实数满足完备性，坐标轴才能画作实线。
现代数学靠它吃饭
什么是实数的完备性?
答：实数集完备性的基本定理共有6个，实数集的确界原理，函数的单调有界定理和数列的柯西收敛定理，将要学习的有：区间套定理，聚点定理和有限覆盖定理。它们都是等价的：由任何一个定理都可以推出其他5个定理。简介：完备性是指在数学及其相关领域中，当一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个...
实数理论与极限的相关知识有哪些?
答：实数的理论基础是集合论，特别是康托尔的集合理论。康托尔通过他的集合理论，定义了实数，并证明了实数的一些基本性质，如实数的完备性。实数的一个重要性质是连续性。在实数系统中，每一个有界的无限序列都有一个极限，这个极限也是实数。这就是所谓的实数的完备性。这个性质使得实数系统成为微积分的...
实数的完备性是什么
答：实数的一个重要性质。实数的完备性是实数的一个重要性质，包括实数的连续性、稠密性和完备性。
讨论实数的连续性及其应用
答：可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）2、实数连续性有6个...
什么是实数的完备性?
答：实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金...
实数连续性定理
答：引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。实数完备性基本定理的等价性实数基本定理等价性的路线，证明按以下三条路线进行：1：确界原理→单调有界原理→...
实数的完备性定理
答：实数的完备性定理如下：确定原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，以及柯西收敛准则。
请教:实数完备性基本定理的作用和关系!
答：关于实数完备性的六个基本定理 不知到我说的对不对，这六个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质:实数集关于极限运算是封闭的,即实数的连续性。之间相互等价，均可作为公理。证明七个实数基本定理等价性的路线 :Ⅰ: 确界原理==>单调有界原理==>区间套定理==>Cauchy收敛准则==>确界原理 Ⅱ: ...
实数完备性七大定理
答：实数完备性七大定理如下：概念：实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。基本运算：实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等...
实数公理的实数的基本定理
答：实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的...
完备性是个很重要的概念，完备性的定义是柯西数列收敛。
完备性的意义在于刻画数列的收敛性，也就是极限的概念。
变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）、戴德金（R.Dedekind1831-1916）、康托（G.Cantor,1845-1918）等人加以完成了。1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,1849-1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（ErlangerProgramm），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统一的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。
你先告诉我你所说是下面的哪个（2已知，关键是另一个），然后我再考虑1.(连续性,dedekind)实轴的切割不产生新的点。
2.(连续性,bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界。
3.(连续性)单调有界数列必收敛。
4.(连续性,cantor)闭区间套非空。
5.(紧性,weierstrass)有界数列必有收敛子列。
6.(紧性,heine-borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖
7.(完备性,cauchy)实轴上的基本序列收敛。
顺便提一句，连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价，所以不要混用。
1楼看来真是全忘了，这个是数学分析的基础，不是实分析，虽然没必要去区分这两者。
ok.就证这两个。
2=>5:
若数列a_n落在区间[-m,m]上，考察集合
a={x:[-m-2,x]包含a_n的最多有限项}
那么a非空(至少包含-m-1)且上有界(m是一个上界)，必存在上确界，记u=supa。
在(u,u+1)中取a_n的一项a_k_1。
在(u,u+1/m)中取a_n一项a_k_m，使得k_m>k_{m-1}，由a的定义，这样的项肯定存在。
这样找到了a_n的一个子列a_k_m，容易用极限的定义说明a_k_m收敛到u。
5=>2:
设x是实数集的非空上有界子集，y是它的上界全体。(此构造同样适用于1=>2，并且是直接得结论)
若x有最大值，那么supx=maxx，即上确界存在。
以下讨论x没有最大值的情况。
在x中任取一点记为a_0，在y中任取一点记为b_0。
取c_n=(a_n+b_n)/2，若x中存在比c_n大的元素a，那么a_{n+1}=a，b_{n+1}=b_n；
否则a_{n+1}=a_n，b_{n+1}=c_n。
于是b_n是一个有界数列(a_0<=b_n<=b_0)，必有收敛子列b_k_n->u。(注意，这里最关键的是u的存在性)
然后利用极限的保序性质(因为极限存在，只要用极限的定义就可以说明)，对x的任意元素a，a<=b_k_n得到a<=u，于是u是x的一个上界。
任取e>0，由于0
2的方法同样适用于3=>2、4=>2、7=>2，只要说明b_n有极限就可以了。
2)
实数理论最关键的是说明一些数的存在性，在已知数列极限存在的时候，很多结论的证明只需要极限的定义就够了。
这些定理的等价性证完以后没必要把任意两个单独抽出来证，除非你在训练自己的思维。本来7步就可以证出所有等价性，去收集另外35个证明没啥用处。
假如你能证明存在一个数位于两个实数之间满足某个定理，那么这个定理救是对的。因为实数具有完备性，所以只要一个数在两个实数之间，不管多么复杂就必定存在。而且只有实数满足完备性，坐标轴才能画作实线。
现代数学靠它吃饭
答：实数集完备性的基本定理共有6个，实数集的确界原理，函数的单调有界定理和数列的柯西收敛定理，将要学习的有：区间套定理，聚点定理和有限覆盖定理。它们都是等价的：由任何一个定理都可以推出其他5个定理。简介：完备性是指在数学及其相关领域中，当一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个...
答：实数的理论基础是集合论，特别是康托尔的集合理论。康托尔通过他的集合理论，定义了实数，并证明了实数的一些基本性质，如实数的完备性。实数的一个重要性质是连续性。在实数系统中，每一个有界的无限序列都有一个极限，这个极限也是实数。这就是所谓的实数的完备性。这个性质使得实数系统成为微积分的...
答：实数的一个重要性质。实数的完备性是实数的一个重要性质，包括实数的连续性、稠密性和完备性。
答：可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）2、实数连续性有6个...
答：实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金...
答：引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。实数完备性基本定理的等价性实数基本定理等价性的路线，证明按以下三条路线进行：1：确界原理→单调有界原理→...
答：实数的完备性定理如下：确定原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，以及柯西收敛准则。
答：关于实数完备性的六个基本定理 不知到我说的对不对，这六个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质:实数集关于极限运算是封闭的,即实数的连续性。之间相互等价，均可作为公理。证明七个实数基本定理等价性的路线 :Ⅰ: 确界原理==>单调有界原理==>区间套定理==>Cauchy收敛准则==>确界原理 Ⅱ: ...
答：实数完备性七大定理如下：概念：实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。基本运算：实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等...
答：实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的...
