讨论实数的连续性及其应用
1、实数连续性，是说实数对极限运算封闭
可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，
有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）
为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）
实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）
2、实数连续性有6个等价定理，包括你说的3个，它们之间可以互相证明
内容太多了，查数学分析书吧
三个定理和实数连续性的等价性，就在于这三个定理所作的运算都能划归无穷次算术运算（极限运算）
比如单调数列，An+1比An加（减）了一点，由于有界，每次加（减）数都比上次小一点（不能超过界限），这样无穷次算下来，由实数定义能保证一定会得到（实数的）结果
闭区间套也是这样，一边累加、另一边累减，两边都不过界
确界的作法跟单调有界数列类似，实数定义能保证把确界作出来
ps，这对操盘很有用吗？
若实数不连续，则存在a、b是相邻的两个实数，则（a+b）/2也为实数，但它介于a、b之间，所以a、b不相邻。故实数连续
回答者：hyl510 - 见习魔法师 二级 4-26 15:59
这证明对吗？
若有理数不连续，则存在a、b是相邻的两个有理数，则（a+b）/2也为有理数，但它介于a、b之间，所以a、b不相邻。故有理数连续。
那为什么说有理数不连续？
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实数系的基本定理——实数系的连续性，有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy 收敛原理和Cantor定理。这些定理是等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。
确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
有理数集合0<x^2<2中，无上确界，所以有理数不连续。
可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，
有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）
为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）
实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）
2、实数连续性有6个等价定理，包括你说的3个，它们之间可以互相证明
内容太多了，查数学分析书吧
三个定理和实数连续性的等价性，就在于这三个定理所作的运算都能划归无穷次算术运算（极限运算）
比如单调数列，An+1比An加（减）了一点，由于有界，每次加（减）数都比上次小一点（不能超过界限），这样无穷次算下来，由实数定义能保证一定会得到（实数的）结果
闭区间套也是这样，一边累加、另一边累减，两边都不过界
确界的作法跟单调有界数列类似，实数定义能保证把确界作出来
答案补充
http://www.cqvip.com/onlineread/onlineread.asp?id=24963108
这里有一篇相关内容的论文，个人觉得蛮好的。
【关键词】：实数连续性 等价命题 证明 闭区间套定理 覆盖 聚点
跟高数和数分关系非常密切。
答案补充
http://jpkc.sysu.edu.cn/sxfx/taolun/5.doc
这是一个关于关于实数连续性的基本定理的文档，你去看看，有没有帮助。我没有学过数分，只能帮到这些啦，呵呵。想当年学高数的时候，就是头疼那些证明题啊！！！
1、实数连续性，是说实数对极限运算封闭
可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，
有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）
为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）
实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）
2、实数连续性有6个等价定理，包括你说的3个，它们之间可以互相证明
内容太多了，查数学分析书吧
三个定理和实数连续性的等价性，就在于这三个定理所作的运算都能划归无穷次算术运算（极限运算）
比如单调数列，An+1比An加（减）了一点，由于有界，每次加（减）数都比上次小一点（不能超过界限），这样无穷次算下来，由实数定义能保证一定会得到（实数的）结果
闭区间套也是这样，一边累加、另一边累减，两边都不过界
确界的作法跟单调有界数列类似，实数定义能保证把确界作出来
答：物理研究还是工程应用中，0都是作为一个实数来处理的。综上所述，实数是数学中的一个重要概念，它包括所有的有理数和无理数，以及特殊的数0。实数的连续性和完备性使其在几何和数学分析中有着广泛的应用。在解决各种实际问题时，实数作为一个重要的数学工具，帮助我们描述和理解世界的连续变化。
答：所谓实数的连续性指的是,对于实数集R的任意分割所产生的两个新数集A和B中,要么A有最大值,要么B有最小值.或者换句话说,分割的这一点要么属于A,要么属于B,不可能一个都不属于.用确界原理证明连续性,不妨假设对实数的一组分割A/B中,A没有最大值,只要证明B有最小值就证明了连续性.当然你假设B...
答：4、此外，连续性也是实数理论中的一个重要部分。实数是有理数的扩展，而连续性是实数理论中的一个基本性质。实数在直观上可以理解为一条连续的线，这个线上的每个点都可以被赋予一个实数值。这种直观的理解方式，使得连续性成为实数理论的核心概念之一。5、在实践中，连续性的概念也被广泛应用于各种不...
答：还有一些常见的判断函数连续的方法，例如利用函数的极限判断连续性、利用左右极限判断连续性、利用导数判断连续性等。连续概念的应用：1、在数学领域中，连续的概念被广泛应用于实数和复数的领域中。例如，实数集是一个连续的集合，每个实数都可以被表示为一个无限不循环小数，这表明了连续概念在实数中的重要...
答：戴德金定理:对于实数集的任一分割S|T,或者S有最大实数,或者T有最小实数,二者必居其一。这是给分析建立基础的东西。它和微积分中的某些基础定理是等价的,比如区间套定理。实数的连续性证明,依靠的是这些基本定理。对数轴上的无穷集合X进行一次分割,可分为两部分,A,B设A中元素均大于B中的,一般就有三种情况,1...
答：.3.直观理解:3 3.1 3.14 3.141 3.1415 3.14159 ...它们都在Q中, 并且靠的愈来愈近, 因此它们的极限在R中,在拓扑学中,一个拓扑空间连续是指不能分解成两个非空开集的不交并.完备空间可以不连续(例如 [0,1]并[2,3])连续空间可以不完备(例如复数域去掉零点)
答：连续性是任意区间的确界存在；稠密性是任意区间（集合）之间包含了无穷数（元素）。实数有连续性，所以必有稠密性。但是连续性和稠密性不等价。比如有理数。任意区间满足稠密性；但是x*x<2这个集合的确界不在有理数集合内，有理数就不连续。
答：实数的特点 1、连续性：实数在数轴上具有连续性，即任意两个实数之间都存在无数个其他的实数。这一特性使得实数在应用中具有很高的精度和灵活性。2、离散性：虽然实数在数轴上是连续的，但它们也可以被视为一个离散集合，即它们可以被表示为一系列不相交的区间。这种离散性使得实数的运算和函数定义更加...
答：若有理数不连续，则存在a、b是相邻的两个有理数，则（a+b）/2也为有理数，但它介于a、b之间，所以a、b不相邻。故有理数连续。那为什么说有理数不连续？--- 实数系的基本定理——实数系的连续性，有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzan...
答：实数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各个领域。在物理学中，实数用于描述物体的位置、速度、加速度等物理量；在经济学中，实数用于表示货币金额和经济指标；在计算机科学中，实数用于模拟和计算连续变量等。7.实数的进一步研究 实数的研究是数学领域的重要课题，涉及到实数的精确性、连续性和无理数的...
