有关数学高考题
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-08-24
数学高考题。
（A） （B）3（C）4（D）5
2. （05年福建卷）3．已知等差数列 中， 的值是 （ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3. （05年湖南卷）已知数列 满足 ，则 = （B ）
A．0 B． C． D．
4. （05年湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则
= （C）
A．2 B． C．1 D．
5. （05年湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
6. （05年江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )
( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189
7. (05年全国卷II) 如果数列 是等差数列，则(B )
(A) (B) (C) (D)
8. (05年全国卷II) 11如果 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则(B)
(A) (B) (C) (D)
9. （05年山东卷） 是首项 =1，公差为 =3的等差数列，如果 =2005，则序号 等于(C )
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
10. （05年上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3
一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2
i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3
是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 12-3 12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1
的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2
3 2 1
[答]( C )
(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720
11. （05年浙江卷） ＝( C )
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
12. (05年重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)
(A) 4；
(B) 5；
(C) 6；
(D) 7。
13、（04年浙江文理(3)） 已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 =
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
14、（04年全国卷四文理6）．等差数列 中， ，则此数列前20项和等于
A．160 B．180 C．200 D．220
15、（04年全国三文（4））等比数列 中 ，则 的前4项和为
A. 81 B. 120 C. 125 D. 192
16、（04年天津卷理8.） 已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
17、（04年全国卷三理⑶）设数列 是等差数列， ，Sn是数列 的前n项和，则（ ）
A.S4＜S5 B.S4＝S5 C.S6＜S5 D.S6＝S5
18．（2003天津文）5．等差数列 （ C ）
A．48 B．49 C．50 D．51
19．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和，且 则 是 （ B ）
（A）等比数列，但不是等差数列 （B）等差数列，但不是等比数列
（C）等差数列，而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列
20、（04年湖北卷理8文9）．已知数列{ }的前n项和 其中a、b是非零常数，则存在数列{ }、{ }使得（ ）
A． 为等差数列，{ }为等比数列
B． 和{ }都为等差数列
C． 为等差数列，{ }都为等比数列
D． 和{ }都为等比数列
21、（04年重庆卷理9）． 若数列 是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大自然数n是：（ ）
A 4005 B 4006 C 4007 D 4008
二、填空题
1、（05年广东卷）
设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用 表示这n条直线交点的个数，则 _____5________；当n＞4时， ＝__ ___________．
2、. （05年北京卷）已知n次多项式 ,
如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 的值共需要 n(n＋3) 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的
值共需要 2n 次运算．
3. （05年湖北卷）设等比数列 的公比为q，前n项和为S¬n，若Sn+1,S¬n，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .
4. (05年全国卷II) 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216 __．
5. （05年山东卷）
6. （05年上海）12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ，记 ， 。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， =_-1080_________。
7、计算： =_3 _________。
8. （05年天津卷）设 ,则
9、 （05年天津卷）在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 ，
则 =_2600_ ___.
10. (05年重庆卷) = -3 .
11、（04年上海卷理12） 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.（①、④）
12（04年江苏卷15）.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= (对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是__2
13（04年北京文理（14））定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为___，且（文：这个数列的前21项和 的值为_____）（理：这个数列的前n项和 的计算公式为__（ 3 ；（文：52）理：当n为偶数时， ；当n为奇数时， ）
三、解答题
1.（05年北京卷）
设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,
记 ，n＝＝l，2，3，…•．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 ．
解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；
（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,
所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),
猜想：{bn}是公比为 的等比数列•
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列•
（III） .
2.（05年北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1， ，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II） 的值.
解：（I）由a1=1， ，n=1，2，3，……，得
， ， ，
由 （n≥2），得 （n≥2），
又a2= ，所以an= (n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为 ；
（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为n的等比数列，∴ =
3．（05年福建卷）
已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）由题设
（Ⅱ）若
当 故
若
当
故对于
4. （05年福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn¬}满足b1=－1, bn+1= ，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若 ，求a的取值范围.
（I）解法一：
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
5. （05年湖北卷）设数列 的前n项和为Sn=2n2， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和Tn.
解：（1）：当
故{an}的通项公式为 的等差数列.
设{bn}的通项公式为
故
（II）
两式相减得
6. （05年湖北卷）已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
7. （05年湖南卷）已知数列 为等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明
（I）解：设等差数列 的公差为d.
由 即d=1.
所以 即
（II）证明因为 ，
所以
8. （05年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不
要求证明）
（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk¬)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
9. （05年江苏卷）设数列｛an｝的前项和为 ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 , 其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值;
(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式 .
解：(Ⅰ)由 ， ， ，得 ， ， ．
把 分别代入 ，得
解得， ， ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，即
， ①
又 ． ②
②-①得， ，
即 ． ③
又 ． ④
④-③得， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
因此，数列 是首项为1，公差为5的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知， ．考虑
．
．
∴ ．
即 ，∴ ．
因此， ．
10. （05年辽宁卷）已知函数 设数列 }满足 ，数列 }满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明 ；
（Ⅱ）证明
解：（Ⅰ）证明：当 因为a1=1，
所以 ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1= ，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故对任意 ………………（12分）
11. (05年全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。
（Ⅰ）求 的通项；
（Ⅱ）求 的前n项和 。
解：（Ⅰ）由 得
即
可得
因为 ，所以 解得 ，因而
（Ⅱ）因为 是首项 、公比 的等比数列，故
则数列 的前n项和
前两式相减，得
即
12. (05年全国卷Ⅰ)
设等比数列 的公比为 ，前n项和 。
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。
解：（Ⅰ）因为 是等比数列，
当
上式等价于不等式组： ①
或 ②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由 得
于是
又∵ >0且－1< <0或 >0
当 或 时 即
当 且 ≠0时， 即
当 或 =2时， 即
13. (05年全国卷II) 已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ) 证明 为等比数列；
(Ⅱ) 如果数列 前3项的和等于 ，求数列 的首项 和公差 ．
(I)证明：∵ 、 、 成等差数列
∴2 = + ，即
又设等差数列 的公差为 ，则( － ) = ( －3 )
这样 ，从而 ( － )=0
∵ ≠0
∴ = ≠0
∴
∴ 是首项为 = ，公比为 的等比数列。
(II)解。∵
∴ =3
∴ = =3
14.( 05年全国卷II)
已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ) 证明 为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 ．
(注：无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得
即 ，得 因
当 =0时，{an}为正的常数列 就有
当 = 时， ,就有
于是数列{ }是公比为1或 的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 →∞时其前 项和的极限不存在。
因而 = ≠0，这时公比 = ，
这样 的前 项和为
则S=
由 ，得公差 =3，首项 = =3
15. (05年全国卷III)
在等差数列 中，公差 的等差中项.
已知数列 成等比数列，求数列 的通项
解：由题意得： ……………1分
即 …………3分
又 …………4分
又 成等比数列,
∴该数列的公比为 ，………6分
所以 ………8分
又 ……………………………………10分
所以数列 的通项为 ……………………………12分
16. （05年山东卷）
已知数列 的首项 前 项和为 ，且
（I）证明数列 是等比数列；
（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.
解：由已知 可得 两式相减得
即 从而 当 时 所以 又 所以 从而
故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列；
（II）由（I）知
因为 所以
从而 =
= - =
由上 - =
=12 ①
当 时，①式=0所以 ；
当 时，①式=-12 所以
当 时， 又
所以 即① 从而
17．(05年上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400•(1.08)n-1•0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)•50>400•(1.08)n-1•0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
18. （05年天津卷）
已知 .
（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；
（Ⅱ）求 .
（18）解：（Ⅰ）当 时， ．这时数列 的前 项和
． ①
①式两边同乘以 ，得 ②
①式减去②式，得
若 ，
，
若 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时， ，则 ．
当 时，
此时， ．
若 ， ．
若 ， ．
19. （05年天津卷）若公比为c的等比数列｛ ｝的首项 ＝1且满足： （ ＝3，4，…）。
（I）求c的值。
（II）求数列｛ ｝的前 项和 。
20. （05年浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．
解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得
将 代入(3),整理得
解得 或
故 , 或
经验算，上述两组数符合题意。
21（05年浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn上，点 ( ，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{ }是等差数列．
解：（I）由题意，得 。
设点 是 上任意一点，则
令 则
由题意，得 即
又 在 上，
解得
故 方程为
(II)设点 是 上任意一点，则
令 ，则 .
由题意得g ，即
又
即 （*）
下面用数学归纳法证明
①当n=1时， 等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即
则当 时，由（*）知
又
即当 时，等式成立。
由①②知，等式对 成立。
是等差数列。
22. (05年重庆卷)数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n³1)。记 (n³1)。
(1) 求b1、b2、b3、b4的值；
(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
解法一：
（I）
（II）因 ，
故猜想
因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）。
∵
故 的等比数列.
,
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由 得
故
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
从而
故
23. (05年重庆卷)数列{an}满足 .
（Ⅰ）用数学归纳法证明： ；
（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时， ，不等式成立.
（2）假设当 时不等式成立，即
那么 . 这就是说，当 时不等式成立.
根据（1）、（2）可知： 成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到 求和可得
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证 成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故 成立
24. （05年江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
方法二：因为
两边同乘以 ，可得：
令
所以
………
又
∴
∴
25. （05年江西卷）
已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
26、（04年全国卷四文18）．已知数列{ }为等比数列， （Ⅰ）求数列{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 是数列{ }的前 项和，证明
解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4. 依题意，得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{an}的通项公式为an=2•3n－1
（II）
27、（04年全国三文⒆）设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且 , ，求数列{an}的通项公式.
解：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得： .解之得： ， 或 （舍）
28（04年全国卷三理(22)）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
⑵求数列{an}的通项公式；⑶证明：对任意的整数m>4，有
解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0；
当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得： ，化简得：
上式可化为： ，故数列{ }是以 为首项, 公比为2的等比数列.故 ∴
数列{ }的通项公式为：
⑶由已知得：
. 故 ，( m>4)
29、（04年天津卷文20. ）设 是一个公差为 的等差数列，它的前10项和 且 ， ， 成等比数列。（1）证明 ；（2）求公差 的值和数列 的通项公式
证明：因 ， ， 成等比数列，故 ，而 是等差数列，有 ，
于是 ，即 ，化简得
（2）解：由条件 和 ，得到 ，由（1）， ，代入上式得 ，故 ， ，
30（04年浙江卷文（17））、已知数列 的前n项和为 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求证数列 是等比数列
解: (Ⅰ)由 ,得 ，∴ ，又 ,即 ,得 .(Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列
31（04年广东卷17）. 已知 成公比为2的等比数列( 也成等比数列. 求 的值
解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
32（04年湖南文20）． 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n
（Ⅰ）证明 由 成等差数列， 得 ，即 变形得 所以 （舍去）.由
得
所以12S3，S6，S12－S6成等比数列
（Ⅱ）解：
即 ①
①× 得：
所以
33、（04年江苏卷20）.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项 32 ，公差 ，求满足 的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有 成立
解：（1） ；（2） 或 或
34（04年全国卷一理15）．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
（ 答案 ）
35（04年全国卷一理22）．已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式
解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1= (3k－1)+ [(－1)k－1],于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k= (－1)k－1－1+(－1)k= (－1)k=1
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an¬= 当n为偶数时，
36（04年全国卷一文17）． 等差数列{ }的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项 ；（Ⅱ）若Sn=242，求n
解：（Ⅰ）由 得方程组 解得
所以 （Ⅱ）由 得方程
解得
37（04年全国卷二理（19））、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn（n＝1，2，3，…）
证明：(Ⅰ)数列{ }是等比数列；(Ⅱ)Sn＋1＝4an
证（I）由a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3，…)，知a2= S1=3a1, , ,∴
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn= Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，…).故数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列
证（II） 由（I）知， ，于是Sn+1=4(n+1)• =4an(n )
又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an
38（04年全国卷二文（17））、已知等差数列{an}，a2＝9，a5 ＝21
(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn
解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；{bn}是首项为32公比为16的等比数列，Sn= .
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谁能给我30道备战高考数学的集合题型,
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最难高考数学是哪一年
答：然而,我们可以看一下历年高考数学试卷的一些特点,从中找出一些有代表性的例子。 1987年的高考数学试卷可以说是历史上非常经典的一份试卷。当时的数学考试采用的还是计算器纸(很可能让现在的学生有些陌生),不过这张试卷给出的题目难度之高是公认的。 1999年的高考数学试卷也被誉为难度较大的一份试卷。该试卷难度...
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14题我会做帮你一下
解：由韦达定理可知
Y1+Y2=20/5=4
Y1Y2=(12+m)/5
(3－2Y1)(3－2Y2)＋Y1Y2=0
9-6(Y1+Y2)+5Y1Y1=0
9-24+12+M=0
M=3
（A） （B）3（C）4（D）5
2. （05年福建卷）3．已知等差数列 中， 的值是 （ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3. （05年湖南卷）已知数列 满足 ，则 = （B ）
A．0 B． C． D．
4. （05年湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则
= （C）
A．2 B． C．1 D．
5. （05年湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
6. （05年江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )
( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189
7. (05年全国卷II) 如果数列 是等差数列，则(B )
(A) (B) (C) (D)
8. (05年全国卷II) 11如果 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则(B)
(A) (B) (C) (D)
9. （05年山东卷） 是首项 =1，公差为 =3的等差数列，如果 =2005，则序号 等于(C )
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
10. （05年上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3
一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2
i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3
是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 12-3 12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1
的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2
3 2 1
[答]( C )
(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720
11. （05年浙江卷） ＝( C )
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
12. (05年重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)
(A) 4；
(B) 5；
(C) 6；
(D) 7。
13、（04年浙江文理(3)） 已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 =
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
14、（04年全国卷四文理6）．等差数列 中， ，则此数列前20项和等于
A．160 B．180 C．200 D．220
15、（04年全国三文（4））等比数列 中 ，则 的前4项和为
A. 81 B. 120 C. 125 D. 192
16、（04年天津卷理8.） 已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
17、（04年全国卷三理⑶）设数列 是等差数列， ，Sn是数列 的前n项和，则（ ）
A.S4＜S5 B.S4＝S5 C.S6＜S5 D.S6＝S5
18．（2003天津文）5．等差数列 （ C ）
A．48 B．49 C．50 D．51
19．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和，且 则 是 （ B ）
（A）等比数列，但不是等差数列 （B）等差数列，但不是等比数列
（C）等差数列，而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列
20、（04年湖北卷理8文9）．已知数列{ }的前n项和 其中a、b是非零常数，则存在数列{ }、{ }使得（ ）
A． 为等差数列，{ }为等比数列
B． 和{ }都为等差数列
C． 为等差数列，{ }都为等比数列
D． 和{ }都为等比数列
21、（04年重庆卷理9）． 若数列 是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大自然数n是：（ ）
A 4005 B 4006 C 4007 D 4008
二、填空题
1、（05年广东卷）
设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用 表示这n条直线交点的个数，则 _____5________；当n＞4时， ＝__ ___________．
2、. （05年北京卷）已知n次多项式 ,
如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 的值共需要 n(n＋3) 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的
值共需要 2n 次运算．
3. （05年湖北卷）设等比数列 的公比为q，前n项和为S¬n，若Sn+1,S¬n，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .
4. (05年全国卷II) 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216 __．
5. （05年山东卷）
6. （05年上海）12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ，记 ， 。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， =_-1080_________。
7、计算： =_3 _________。
8. （05年天津卷）设 ,则
9、 （05年天津卷）在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 ，
则 =_2600_ ___.
10. (05年重庆卷) = -3 .
11、（04年上海卷理12） 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.（①、④）
12（04年江苏卷15）.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= (对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是__2
13（04年北京文理（14））定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为___，且（文：这个数列的前21项和 的值为_____）（理：这个数列的前n项和 的计算公式为__（ 3 ；（文：52）理：当n为偶数时， ；当n为奇数时， ）
三、解答题
1.（05年北京卷）
设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,
记 ，n＝＝l，2，3，…•．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 ．
解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；
（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,
所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),
猜想：{bn}是公比为 的等比数列•
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列•
（III） .
2.（05年北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1， ，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II） 的值.
解：（I）由a1=1， ，n=1，2，3，……，得
， ， ，
由 （n≥2），得 （n≥2），
又a2= ，所以an= (n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为 ；
（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为n的等比数列，∴ =
3．（05年福建卷）
已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）由题设
（Ⅱ）若
当 故
若
当
故对于
4. （05年福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn¬}满足b1=－1, bn+1= ，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若 ，求a的取值范围.
（I）解法一：
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
5. （05年湖北卷）设数列 的前n项和为Sn=2n2， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和Tn.
解：（1）：当
故{an}的通项公式为 的等差数列.
设{bn}的通项公式为
故
（II）
两式相减得
6. （05年湖北卷）已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
7. （05年湖南卷）已知数列 为等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明
（I）解：设等差数列 的公差为d.
由 即d=1.
所以 即
（II）证明因为 ，
所以
8. （05年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不
要求证明）
（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk¬)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
9. （05年江苏卷）设数列｛an｝的前项和为 ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 , 其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值;
(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式 .
解：(Ⅰ)由 ， ， ，得 ， ， ．
把 分别代入 ，得
解得， ， ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，即
， ①
又 ． ②
②-①得， ，
即 ． ③
又 ． ④
④-③得， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
因此，数列 是首项为1，公差为5的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知， ．考虑
．
．
∴ ．
即 ，∴ ．
因此， ．
10. （05年辽宁卷）已知函数 设数列 }满足 ，数列 }满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明 ；
（Ⅱ）证明
解：（Ⅰ）证明：当 因为a1=1，
所以 ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1= ，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故对任意 ………………（12分）
11. (05年全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。
（Ⅰ）求 的通项；
（Ⅱ）求 的前n项和 。
解：（Ⅰ）由 得
即
可得
因为 ，所以 解得 ，因而
（Ⅱ）因为 是首项 、公比 的等比数列，故
则数列 的前n项和
前两式相减，得
即
12. (05年全国卷Ⅰ)
设等比数列 的公比为 ，前n项和 。
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。
解：（Ⅰ）因为 是等比数列，
当
上式等价于不等式组： ①
或 ②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由 得
于是
又∵ >0且－1< <0或 >0
当 或 时 即
当 且 ≠0时， 即
当 或 =2时， 即
13. (05年全国卷II) 已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ) 证明 为等比数列；
(Ⅱ) 如果数列 前3项的和等于 ，求数列 的首项 和公差 ．
(I)证明：∵ 、 、 成等差数列
∴2 = + ，即
又设等差数列 的公差为 ，则( － ) = ( －3 )
这样 ，从而 ( － )=0
∵ ≠0
∴ = ≠0
∴
∴ 是首项为 = ，公比为 的等比数列。
(II)解。∵
∴ =3
∴ = =3
14.( 05年全国卷II)
已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ) 证明 为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 ．
(注：无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得
即 ，得 因
当 =0时，{an}为正的常数列 就有
当 = 时， ,就有
于是数列{ }是公比为1或 的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 →∞时其前 项和的极限不存在。
因而 = ≠0，这时公比 = ，
这样 的前 项和为
则S=
由 ，得公差 =3，首项 = =3
15. (05年全国卷III)
在等差数列 中，公差 的等差中项.
已知数列 成等比数列，求数列 的通项
解：由题意得： ……………1分
即 …………3分
又 …………4分
又 成等比数列,
∴该数列的公比为 ，………6分
所以 ………8分
又 ……………………………………10分
所以数列 的通项为 ……………………………12分
16. （05年山东卷）
已知数列 的首项 前 项和为 ，且
（I）证明数列 是等比数列；
（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.
解：由已知 可得 两式相减得
即 从而 当 时 所以 又 所以 从而
故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列；
（II）由（I）知
因为 所以
从而 =
= - =
由上 - =
=12 ①
当 时，①式=0所以 ；
当 时，①式=-12 所以
当 时， 又
所以 即① 从而
17．(05年上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400•(1.08)n-1•0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)•50>400•(1.08)n-1•0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
18. （05年天津卷）
已知 .
（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；
（Ⅱ）求 .
（18）解：（Ⅰ）当 时， ．这时数列 的前 项和
． ①
①式两边同乘以 ，得 ②
①式减去②式，得
若 ，
，
若 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时， ，则 ．
当 时，
此时， ．
若 ， ．
若 ， ．
19. （05年天津卷）若公比为c的等比数列｛ ｝的首项 ＝1且满足： （ ＝3，4，…）。
（I）求c的值。
（II）求数列｛ ｝的前 项和 。
20. （05年浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．
解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得
将 代入(3),整理得
解得 或
故 , 或
经验算，上述两组数符合题意。
21（05年浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn上，点 ( ，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{ }是等差数列．
解：（I）由题意，得 。
设点 是 上任意一点，则
令 则
由题意，得 即
又 在 上，
解得
故 方程为
(II)设点 是 上任意一点，则
令 ，则 .
由题意得g ，即
又
即 （*）
下面用数学归纳法证明
①当n=1时， 等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即
则当 时，由（*）知
又
即当 时，等式成立。
由①②知，等式对 成立。
是等差数列。
22. (05年重庆卷)数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n³1)。记 (n³1)。
(1) 求b1、b2、b3、b4的值；
(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
解法一：
（I）
（II）因 ，
故猜想
因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）。
∵
故 的等比数列.
,
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由 得
故
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
从而
故
23. (05年重庆卷)数列{an}满足 .
（Ⅰ）用数学归纳法证明： ；
（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时， ，不等式成立.
（2）假设当 时不等式成立，即
那么 . 这就是说，当 时不等式成立.
根据（1）、（2）可知： 成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到 求和可得
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证 成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故 成立
24. （05年江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
方法二：因为
两边同乘以 ，可得：
令
所以
………
又
∴
∴
25. （05年江西卷）
已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
26、（04年全国卷四文18）．已知数列{ }为等比数列， （Ⅰ）求数列{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 是数列{ }的前 项和，证明
解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4. 依题意，得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{an}的通项公式为an=2•3n－1
（II）
27、（04年全国三文⒆）设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且 , ，求数列{an}的通项公式.
解：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得： .解之得： ， 或 （舍）
28（04年全国卷三理(22)）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
⑵求数列{an}的通项公式；⑶证明：对任意的整数m>4，有
解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0；
当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得： ，化简得：
上式可化为： ，故数列{ }是以 为首项, 公比为2的等比数列.故 ∴
数列{ }的通项公式为：
⑶由已知得：
. 故 ，( m>4)
29、（04年天津卷文20. ）设 是一个公差为 的等差数列，它的前10项和 且 ， ， 成等比数列。（1）证明 ；（2）求公差 的值和数列 的通项公式
证明：因 ， ， 成等比数列，故 ，而 是等差数列，有 ，
于是 ，即 ，化简得
（2）解：由条件 和 ，得到 ，由（1）， ，代入上式得 ，故 ， ，
30（04年浙江卷文（17））、已知数列 的前n项和为 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求证数列 是等比数列
解: (Ⅰ)由 ,得 ，∴ ，又 ,即 ,得 .(Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列
31（04年广东卷17）. 已知 成公比为2的等比数列( 也成等比数列. 求 的值
解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
32（04年湖南文20）． 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n
（Ⅰ）证明 由 成等差数列， 得 ，即 变形得 所以 （舍去）.由
得
所以12S3，S6，S12－S6成等比数列
（Ⅱ）解：
即 ①
①× 得：
所以
33、（04年江苏卷20）.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项 32 ，公差 ，求满足 的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有 成立
解：（1） ；（2） 或 或
34（04年全国卷一理15）．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
（ 答案 ）
35（04年全国卷一理22）．已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式
解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1= (3k－1)+ [(－1)k－1],于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k= (－1)k－1－1+(－1)k= (－1)k=1
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an¬= 当n为偶数时，
36（04年全国卷一文17）． 等差数列{ }的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项 ；（Ⅱ）若Sn=242，求n
解：（Ⅰ）由 得方程组 解得
所以 （Ⅱ）由 得方程
解得
37（04年全国卷二理（19））、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn（n＝1，2，3，…）
证明：(Ⅰ)数列{ }是等比数列；(Ⅱ)Sn＋1＝4an
证（I）由a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3，…)，知a2= S1=3a1, , ,∴
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn= Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，…).故数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列
证（II） 由（I）知， ，于是Sn+1=4(n+1)• =4an(n )
又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an
38（04年全国卷二文（17））、已知等差数列{an}，a2＝9，a5 ＝21
(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn
解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；{bn}是首项为32公比为16的等比数列，Sn= .
答：带大家见识一下各省市高考压轴题（部分节选）！在没有进行大范围的全国统考之前很多省市进行自主命题，每年的题型变化也是非常大的，要不像现在全国卷比较“呆板”。问题背景在高考之后说各种秒杀高考压轴题的几乎都不可能！实话实说:本人作为一名市重点高中的高中数学教师，确实有过很深的体会，...
答：2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩；3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单，所以要有构造函数的意识。二、立体几何题 1、证明...
答：4.证明题：证明题要求考生根据已知条件，运用数学定理、公式和推理方法，证明一个命题的正确性。证明题主要考察考生的逻辑推理能力和数学思维能力。除了以上常见的题型，高考数学还可能涉及到应用题、综合题等其他类型的题目。这些题型旨在考察考生对数学知识的掌握程度和应用能力，要求考生具备扎实的数学基础和...
答：注：①曲线、直线关于一直线()对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.2022年高考数学卷真题及答案解析(全国新高考1卷)相关 文章 ：★ ...
答：有关数学高考题 我来答 首页 在问 全部问题 娱乐休闲 游戏 旅游 教育培训 金融财经 医疗健康 科技 家电数码 政策法规 文化历史 时尚美容 情感心理 汽车 生活 职业 母婴 三农 互联网 生产制造 其他 日报 日报精选 日报广场 用户 认证用户 视频作者 日报作者 知道...
答：高中数学合集百度网盘下载 链接：https://pan.baidu.com/s/1znmI8mJTas01m1m03zCRfQ ?pwd=1234 提取码：1234 简介：高中数学优质资料下载，包括：试题试卷、课件、教材、视频、各大名师网校合集。
答：然而,我们可以看一下历年高考数学试卷的一些特点,从中找出一些有代表性的例子。 1987年的高考数学试卷可以说是历史上非常经典的一份试卷。当时的数学考试采用的还是计算器纸(很可能让现在的学生有些陌生),不过这张试卷给出的题目难度之高是公认的。 1999年的高考数学试卷也被誉为难度较大的一份试卷。该试卷难度...
答：因为从1977年以来，每年的高考题都是老套路，模仿的习题居多，缺乏创新能力。为了提高学生的整体水平，1984年，数学命题组提出了高考“出活题，考基础，考能力”的命题指导思想，创造了大批新题，即所谓活题。很多题从课本上根本见不到，难度不亚于现在的全国联赛。例如，有文章说：“查阅建国以来的历届...
答：只要你肯多下功夫，数学课能好好听，刷题，总结笔记啥的，都做到位这样肯定能学的好，考试就能考的好。如果学的不行，也不要太灰心丧气，一切都不晚，就要平时下更多功夫咯。我提醒各位考生一点，就是：压轴题难度和试卷整体难度不一定是正相关的。在高考的历史上，出现过绝大部分题目都很水，但是...
答：选填题：集合、复数、框图计算、线性规划、命题、双曲线和抛物线基础、等差和等比数列基础计算、三视图、三角函数图象平移、指数对数比较大小、诱导公式；解答题：三角——有一定基础的话，可以反复练习8个典型题，拿到6-10分，还来得及；概率——文科考统计和概率，不难懂，比三角要好拿的，可拿10分；立...
