(2013?湖州二模)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=2,E为PD上一点,P

kuaidi.ping-jia.net  作者:佚名   更新日期:2024-08-01
(2013?浙江模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=2,E为PD上一点,PE=2E

解答:(1)证明:∵PA=AD=1,PD=2∴PA2+AD2=PD2即PA⊥AD又∵PA⊥CD.AD∩CD=D∴PA⊥平面ABCD(2)解:过E作EG∥PA交AD于G,从而EG⊥平面ABCD′且AG=2GD.EG=13,PA=13.连接BD交AC于O,过G作GH∥OD交AC于H.连接EH.∵GH⊥AC∴EH⊥AC∴∠EHG为二面角D-AC-E的平面角.∵HG=23OD=23.∴tan∠EHG=EGGH=22.(3)解:因为PA,AB,AD两两垂直,所以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,Z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,1,0)P(0,0,1)E(0,23, 13)AC=(1,1,0) AE=(0,23 13)设平面AEC的法向量n=(x,y,z),则n=n?AC=0n?AE=0即x+y=02y+z=0令y=1,则n=(?1,1,?2)假设PC存在一点F且CF=λCP(0≤λ≤1),使得BF∥平面AEC则BF?n=0.又∵<div style="background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6d81800a19d8bc3e244a267c818ba61ea9d345c1.jpg); background-attachment: initial; background-origin:

解:(Ⅰ) ∵ PA = PD = 1 ,PD = 2 , ∴ PA 2 + AD 2 = PD 2 , 即:PA ⊥ AD 又PA ⊥CD , AD , CD 相交于点D, ∴ PA ⊥平面ABCD (Ⅱ)过E作EG∥PA 交AD于G,从而EG ⊥平面ABCD,且AG = 2GD , EG = PA = , 连接BD交AC于O, 过G作GH∥OD ,交AC于H,连接EH.∵GH ⊥AC , ∴EH ⊥AC ,∴∠ EHG为二面角D-AC-E的平面角.∴tan∠EHG = = .∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值为- (Ⅲ)以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则A(0 ,0, 0),B(1,0,0) ,C(1,1,0),P(0,0,1),E(0 , ), = (1,1,0), = (0 , ) 设平面AEC的法向量 = (x, y,z) , 则 ,即: , 令y = 1 , 则 = (- 1,1, - 2 )假设侧棱PC上存在一点F, 且 = , (0 ≤ ≤ 1), 使得:BF∥平面AEC, 则 · = 0.又因为: = + = (0 ,1,0)+ (- ,- , )= (- ,1- , ),∴ · = + 1- - 2 = 0 ,∴ = ,所以存在PC的中点F, 使得BF∥平面AEC.

(Ⅰ)证明:如图,
(ⅰ)因为PA=AD=1,PD=


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