勾股定理 如图，在四边形ABCD中，角A=60度，角ADC=角ABC=90度，AB=3,CD=2,求四边形ABCD的面积
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-02
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=4，BC=6，CD=2求∠ADC的度数。
容易证明AMND是矩形，三角形面积也是直角三角形也可以算出，用矩形减去两个三角形面积就可以得到所求
【6-2根号3*1.5根号3】-1.5*1.5根号3*1/2-【4.5-2根号3】*【1.5根号3-2】*1/2=2.5根号3
=5根号3/2
解：
延长BC、AD相交于点E
则∠E=30°
∴CE=2，DE=2根号3
∴S△CDE=2根号3
易得△ABE∽△CDE
相似比为3:2
则面积比为9:4
S四边形ABCD：S△CDE=5:4
∴S四边形ABCD=5/4*(2根号3)=(5/2)根号3
∵∠A=135°，∠B=∠D=90°
∴∠C=360-90-90-60=120°
连接AC，BD
在三角形CDB和三角形ADB中，根据余弦定理：
BD^2 = AD^2+AB^2-2AD*AB*cosA
BD^2 = CD^2+BC^2-2CD*BC*cosC
AD^2+AB^2-2AD*AB*cosA = CD^2+BC^2-2CD*BC*cosC
AD^2+3^2-2AD*3*cos60° = 2^2+BC^2-2*2*BC*cos120°
BC^2 - AD^2 + 2BC + 3AD = 5 ......（1）
在直角三角形ACD和直角三角形ACB中，根据勾股定理：
AD^2+CD^2 = AC^2
AB^2+BC^2 = AC^2
∴AD^2+CD^2 = AB^2+BC^2
AD^2+2^2 = 3^2+BC^2
AD^2-BC^2=5......(2)
(1)+(2) ：
2BC+3AD=10
BC=(10-3AD)/2 ......（3）
将（3）代入(2)：
AD^2-{(10-3AD)/2}^2=5
AD^2-12AD+24=0
AD=6±2根号3
如果AD=6+2根号3
BC=(10-3AD)/2 =(10-18-6根号3)/2＜0,舍去
∴AD=6-2根号3
∴BC=(10-3AD)/2 =(10-18+6根号3)/2=3根号3 -4
SABCD=SACD+SACB
= 1/2AD*CD+1/2AB*BC
= 1/2*(6-2根号3)*2 + 1/2 *3*(3根号3-4)
= 6-2根号3 + 9根号3 /2 - 6
= 5根号3 /2
给图
∠ADC的度数135°
因为∠A=90°，AD=AB=4，所以∠ADC=45°，由勾股定理得BD²=32，又BC=6，CD=2，由勾股定理的逆定理得∠BDC=90°，所以∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+90°=135°
祝你学习进步！
∠ABC=∠ADC=90°，ABCD四点共圆，AC是圆的直径，AC的中点O为圆心‘
由O向BD作垂线交BD于E
∠BOD的圆心角，∠BAD是圆周角，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∠BOD=2∠BAD=120°
OD=OB 有∠OBD=∠ODB=30°
OE⊥BD 则 BE=DE=1/2BD=3 OE=1/2OB=1/2OD
勾股定理 OB^2=OE^2+BE^2
有 OB^2=12 OB=2根号3
AC=2OB=4根号3
方法2
如图，补成一个矩形
△AFB∽△BEC
得 AB/BC=AF/BE
而AF=DE 所以 AB/BC=DE/BE
AB/BC=DE/BE ∠ABC=∠E=90°
△ABC∽△DEB
得 AC/BD=BC/BE
学了三角函数的话 BC/BE=1/sin60°=2/根号3
没有学，在△BEC中根据勾股定理 BC/BE=2/根号3
所以 AC/BD=BC/BE=2/根号3
AC=BD*2/根号3=4根号3
容易证明AMND是矩形，三角形面积也是直角三角形也可以算出，用矩形减去两个三角形面积就可以得到所求
【6-2根号3*1.5根号3】-1.5*1.5根号3*1/2-【4.5-2根号3】*【1.5根号3-2】*1/2=2.5根号3
=5根号3/2
解：
延长BC、AD相交于点E
则∠E=30°
∴CE=2，DE=2根号3
∴S△CDE=2根号3
易得△ABE∽△CDE
相似比为3:2
则面积比为9:4
S四边形ABCD：S△CDE=5:4
∴S四边形ABCD=5/4*(2根号3)=(5/2)根号3
∵∠A=135°，∠B=∠D=90°
∴∠C=360-90-90-60=120°
连接AC，BD
在三角形CDB和三角形ADB中，根据余弦定理：
BD^2 = AD^2+AB^2-2AD*AB*cosA
BD^2 = CD^2+BC^2-2CD*BC*cosC
AD^2+AB^2-2AD*AB*cosA = CD^2+BC^2-2CD*BC*cosC
AD^2+3^2-2AD*3*cos60° = 2^2+BC^2-2*2*BC*cos120°
BC^2 - AD^2 + 2BC + 3AD = 5 ......（1）
在直角三角形ACD和直角三角形ACB中，根据勾股定理：
AD^2+CD^2 = AC^2
AB^2+BC^2 = AC^2
∴AD^2+CD^2 = AB^2+BC^2
AD^2+2^2 = 3^2+BC^2
AD^2-BC^2=5......(2)
(1)+(2) ：
2BC+3AD=10
BC=(10-3AD)/2 ......（3）
将（3）代入(2)：
AD^2-{(10-3AD)/2}^2=5
AD^2-12AD+24=0
AD=6±2根号3
如果AD=6+2根号3
BC=(10-3AD)/2 =(10-18-6根号3)/2＜0,舍去
∴AD=6-2根号3
∴BC=(10-3AD)/2 =(10-18+6根号3)/2=3根号3 -4
SABCD=SACD+SACB
= 1/2AD*CD+1/2AB*BC
= 1/2*(6-2根号3)*2 + 1/2 *3*(3根号3-4)
= 6-2根号3 + 9根号3 /2 - 6
= 5根号3 /2
给图
