函数应用题解题策略 三年级数学期末冲刺
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-06-28
培养学生应用知识分析问题、解决问题能力是中学数学教学重要的目标之一，也是高考考查的要求．函数是高中数学的主线，函数的重要性表现在思维的深刻性和应用的广泛性．函数应用题按照函数类型来分有：一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数、指对数函数、幂函数、勾函数、分段函数以及上面各种函数的组合．
解决函数应用问题关键要过好三关：一要过好读题关：即认真读题，缜密审题，确切理解问题的实际背景，经过抽象、概括，把实际问题转化为数学问题，函数实际应用面较广，应用题文字叙述长，数量关系分散而难以把握，因此加强阅读理解能力至关重要；二要过好建模关：即合理设参，寻找条件与结论之间的内在联系，建立相应的函数模型；三是过好计算关：即用掌握的数学知识解决已建立的函数模型，使实际问题获得解决．
函数应用题的一般解题程序是：（1）设出变量（有的应用题变量已经给出，不需要设）．（2）列出关系式，建立函数模型（应指明自变量的取值范围）．（3）利用函数性质解出所要求的量（要熟练掌握各类函数的图像和性质以及导数工具，会求函数的最值、值域等）．（4）回到实际问题中作答（注意检验答案是否符合实际意义）．
下面笔者根据函数模型是否给出分三种情况举例说明函数类应用题解法．
一、已知函数模型问题
这类函数应用题通常在计算和分析转化能力上要求较高．
例1（2012年江苏高考）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知**发射后的轨迹在方程y=kx－120(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指**落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，**可以击中它？请说明理由．
解析：解决本题关键是要读懂题目中射程、**击中飞行物意义并转化为数学问题：（1）求炮的最大射程即求函数图像y与x轴交点的横坐标，求出后应用基本不等式求解;（2）求**击中目标时的横坐标的最大值，可由一元二次方程根的判别式求解．
解(1)令y=0得kx－120(1+k2)x2=0，由实际意义和题设条件可知x>0,k>0．
故x=20k1+k2=201+1k≤10，当且仅当k=1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a>0,所以**击中目标存在k>0，使3.2=ka－120(1+k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak+a2+64=0有正根根的判别式 =(－20a)2－4a2(a2+64)≥0a≤6．所以当a不超过6千米时，可击中目标．
点评：本题主要考查二次函数的图像与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后还原为实际问题.
已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题，对自变量的分类很重要！另外求最值或范围时要灵活运用导数、不等式、方程等知识．
二、构造函数模型问题
例2（2008江苏高考）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20km，BC＝10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO= (rad)，将y表示成的韬叵凳姜?
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
解析：本题要求充分利用图形找出线段之间的关系，借助三角函数或勾股定理建立关系式．本题问题（1）给出两种变量设法，要求分别建立函数关系式，而这两种不同的函数关系式对后面求最值难度是不一样的．
解（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO= (rad)，则OA=AQcos琛粪X)〗=10cos琛粪X)〗,故
OB=10cos琛粪X)〗，又OP＝10－10tan瑁?
所以y=OA+OB+OP=10cos琛粪X)〗+10cos琛粪X)〗+10－10tan瑁?
所求函数关系式为y=20－10sin琛肌姜玞os琛粪X)〗+10（0≤琛堋粪X(〗稹肌 4）.
②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=（10－x）2+102=x2－20x+200，
所求函数关系式为y=x+2x2－20x+200（0≤x≤10）.
（Ⅱ）选择函数模型①，
y′=－10cos璺cos瑁 20－10sin瑁ǎ玸in瑁肌姜玞os2琛粪X)〗
=10（2sin瑁 1）cos2琛粪X)〗，
令y′=0得sin =12，因为00，y是璧脑龊缘辫=稹肌 6时，ymin=10+103．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处．
点评：“几何图形类”函数问题是函数应用题中比较常见的一类问题，此类问题建立函数模型时首先要考虑变量的选择，是选择长度还是选择角度，不同的选择往往决定了后面求最值的难度．其次要灵活运用、充分挖掘几何里的有关知识建立函数关系式，主要有勾股定理、相似三角形比例线段、正余弦定理、直角三角形中锐角三角函数定义（注意正切函数的运用）等．
三、选择拟合函数问题
例3某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案，奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
(2)现有两个奖励函数模型：①y＝x150＋2；②y＝4lgx－3，试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
解析(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈［10,1000］时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x5恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝x150＋2；
当x∈［10,1000］时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝1000150＋2＝203＋215.
从而f(x)≤x5不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．
对于函数g(x)=4lgx-3它在［10,1000］上是增函数
所以g(x)max=g(1000)=9≤9成立
解决函数应用问题关键要过好三关：一要过好读题关：即认真读题，缜密审题，确切理解问题的实际背景，经过抽象、概括，把实际问题转化为数学问题，函数实际应用面较广，应用题文字叙述长，数量关系分散而难以把握，因此加强阅读理解能力至关重要；二要过好建模关：即合理设参，寻找条件与结论之间的内在联系，建立相应的函数模型；三是过好计算关：即用掌握的数学知识解决已建立的函数模型，使实际问题获得解决．
函数应用题的一般解题程序是：（1）设出变量（有的应用题变量已经给出，不需要设）．（2）列出关系式，建立函数模型（应指明自变量的取值范围）．（3）利用函数性质解出所要求的量（要熟练掌握各类函数的图像和性质以及导数工具，会求函数的最值、值域等）．（4）回到实际问题中作答（注意检验答案是否符合实际意义）．
下面笔者根据函数模型是否给出分三种情况举例说明函数类应用题解法．
一、已知函数模型问题
这类函数应用题通常在计算和分析转化能力上要求较高．
例1（2012年江苏高考）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知**发射后的轨迹在方程y=kx－120(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指**落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，**可以击中它？请说明理由．
解析：解决本题关键是要读懂题目中射程、**击中飞行物意义并转化为数学问题：（1）求炮的最大射程即求函数图像y与x轴交点的横坐标，求出后应用基本不等式求解;（2）求**击中目标时的横坐标的最大值，可由一元二次方程根的判别式求解．
解(1)令y=0得kx－120(1+k2)x2=0，由实际意义和题设条件可知x>0,k>0．
故x=20k1+k2=201+1k≤10，当且仅当k=1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a>0,所以**击中目标存在k>0，使3.2=ka－120(1+k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak+a2+64=0有正根根的判别式 =(－20a)2－4a2(a2+64)≥0a≤6．所以当a不超过6千米时，可击中目标．
点评：本题主要考查二次函数的图像与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后还原为实际问题.
已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题，对自变量的分类很重要！另外求最值或范围时要灵活运用导数、不等式、方程等知识．
二、构造函数模型问题
例2（2008江苏高考）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20km，BC＝10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO= (rad)，将y表示成的韬叵凳姜?
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
解析：本题要求充分利用图形找出线段之间的关系，借助三角函数或勾股定理建立关系式．本题问题（1）给出两种变量设法，要求分别建立函数关系式，而这两种不同的函数关系式对后面求最值难度是不一样的．
解（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO= (rad)，则OA=AQcos琛粪X)〗=10cos琛粪X)〗,故
OB=10cos琛粪X)〗，又OP＝10－10tan瑁?
所以y=OA+OB+OP=10cos琛粪X)〗+10cos琛粪X)〗+10－10tan瑁?
所求函数关系式为y=20－10sin琛肌姜玞os琛粪X)〗+10（0≤琛堋粪X(〗稹肌 4）.
②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=（10－x）2+102=x2－20x+200，
所求函数关系式为y=x+2x2－20x+200（0≤x≤10）.
（Ⅱ）选择函数模型①，
y′=－10cos璺cos瑁 20－10sin瑁ǎ玸in瑁肌姜玞os2琛粪X)〗
=10（2sin瑁 1）cos2琛粪X)〗，
令y′=0得sin =12，因为00，y是璧脑龊缘辫=稹肌 6时，ymin=10+103．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处．
点评：“几何图形类”函数问题是函数应用题中比较常见的一类问题，此类问题建立函数模型时首先要考虑变量的选择，是选择长度还是选择角度，不同的选择往往决定了后面求最值的难度．其次要灵活运用、充分挖掘几何里的有关知识建立函数关系式，主要有勾股定理、相似三角形比例线段、正余弦定理、直角三角形中锐角三角函数定义（注意正切函数的运用）等．
三、选择拟合函数问题
例3某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案，奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
(2)现有两个奖励函数模型：①y＝x150＋2；②y＝4lgx－3，试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
解析(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈［10,1000］时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x5恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝x150＋2；
当x∈［10,1000］时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝1000150＋2＝203＋215.
从而f(x)≤x5不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．
对于函数g(x)=4lgx-3它在［10,1000］上是增函数
所以g(x)max=g(1000)=9≤9成立
