一道高数题 函数U=xyz,在x+y+z=1,（x,y,z都大于0）下的最大值.
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-08-30
U=xy(1-x-y)
令t=x+y
则有t²=(x+y)²>=4xy
xy<=t²/4
U=xy(1-t)<=(t²/4)(1-t)=-t³/4+(t²/4)
令U'=-3t²/4+t/2=0
解得,t=0,t=2/3
经检验,当t=0时U取极小值,当t=2/3时,U取极大值,此极大值即是最大值
U(max)=(2/3)²/4*(1-2/3)=1/27
此时,x=y=z=1/3
令t=x+y
则有t²=(x+y)²>=4xy
xy<=t²/4
U=xy(1-t)<=(t²/4)(1-t)=-t³/4+(t²/4)
令U'=-3t²/4+t/2=0
解得,t=0,t=2/3
经检验,当t=0时U取极小值,当t=2/3时,U取极大值,此极大值即是最大值
U(max)=(2/3)²/4*(1-2/3)=1/27
此时,x=y=z=1/3
