无理数的历史
毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年至公元前500年间)是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理,包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理),即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践,他提出“万物皆为数”的观点:数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序。公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕,却是一场悲剧。希伯索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学和逻辑学的发展,并且孕育了微积分思想萌芽。不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
公元前500年,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可子希勃索斯公度的(若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒,认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竟遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明它不能同连续的无限直线同等看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学与逻辑学的发展,并且孕育了微积分的思想萌芽。
不可通约的本质是什么?长期以来众说纷坛,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。无理数的拉丁文本意是“不成比例的数",。
然而,真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。
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答:常见的无理数有:圆周长与其直径的比值,欧拉数e,黄金比例φ等等。可以看出,无理数在位置数字系统中表示(例如,以十进制数字或任何其他自然基础表示)不会终止,也不会重复,即不包含数字的子序列。无理数的历史:毕达哥拉斯是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理,包括后来以他的名字命名的毕达...
答:无理数是指除有理数以外的实数,当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis,意思是“理解”,实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译,是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。定义:在数学中,无理数是所有不是有理数字的实数,后者是由整数的比率(或分数)构成的数字。当两个线段的长度比是无理...
答:从数学发展史看,人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前582-497)学派,但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义;从当今教育的知识体系看,学生在初中阶段开始接触无理数,直到大学毕业却仍然不明白无理数的实质含义。历史与现实两者的契合正好说明无理数的两面特征,应用性使得它是常见...
答:无理数诞生的必要性,是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,即无限不循环小数。 如圆周率,√2等 正是因为无理数,才将数和图形真正统一到一起,进而为后来的解析几何奠定了基础,而解析几何,是人们用数学来分析研究世界的基础,无理数的诞生,是人类历史上具有革命性的历史事件,这岂是一个...
答:这与毕达哥拉斯学派的传统观点相悖,他们坚信所有的数都可以如此表示。然而,毕达哥拉斯本人并未能证明π等无理数的存在,这一发现最终导致了希伯斯的悲剧。他因将这一机密知识泄露给外界,触犯了学派的严格规定,被以“渎神”的罪名处死,这一事件在历史上留下了深刻的印记。
答:2、与π有关的式子:2π、π/2、√5π、π+7等。3、无限不循环小数:0.101001000100001……、0.1082410001……、0.107856387510……等。无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、...
答:结语 毕达哥拉斯无理数的故事,告诉我们数学研究中的重要性和发展历程。无理数的发现,也激发了人们追求数学不能被简单解释的奥秘的热情。回顾历史,我们可以看到,数学拥有着许多重要的发现和理论,它们都是数学家在不懈努力和探索中得到的。因此,我们应该把握好数学学习的机会,多去探索数学中的奥秘,...
答:无理数的由来 公元前500年,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与 其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发 现使...
答:无理数的本质特征在于它的小数形式无法被精确地表示为有限或循环的小数。例如,根号2的小数部分永远不会形成重复的模式,它包含无限多且无规律的数字。无理数包括非完全平方数的平方根,如根号2本身,以及著名的超越数π和e,这些数的特性使得它们无法简化为两个整数的比值。无理数的发现历史可以追溯到...
答:这个认识的基础是一种直觉上的想象,人们认为所有的实数都可以通过数轴上的点来表示,而无理数的发现挑战了这种想象,让人们不相信直觉了。因为无理数是一种不能用整数比值表示的实数,例如圆周率π和黄金比例φ都是无理数。无理数的发现是一个重要的数学历史事件,它挑战了人们对数学的基本认识和直觉...